(no subject)

[leblon]

Интересное кино. Только что родилась новая DG-категория, которая является деформацией эквивариантной категории DG-модулей над алгеброй с действием алгебры Ли. Деформацией примерно в том же смысле, как категория CDG-модулей является деформацией категории DG-модулей. А именно, аналогия в том, что квадрат дифференцирования на модуле не равен нулю, а равен некоторому специальному эндоморфизму модуля. Но в отличие от CDG случая, этот эндоморфизм - не фиксированный элемент алгебры, а нечто такое, что зависит от модуля. Еще одно отличие в том, что на алгебре нужна дополнительная нетривиальная структура. А именно, она должна быть пуассоновой DG-алгеброй, а действие алгебры Ли должно быть "гамильтоновым" (т.е. происходить из скобки Пуассона с некторыми элементами алгебры - "моментами"). Далее, на пространстве, дуальном к алгебре Ли, должна быть задана симметричная билинейная форма, инвариантная по отношению к коприсоединенному представлению. И наконец квадрат "отображения момента" (в смысле этой билинейной формы) должен лежать в пуассоновом центре алгебры, т.е. пуассон-коммутировать со всем.

Вот по таким данным можно построить DG-категорию. Если билинейная форма равна нулю, все сводится к эквивариантной категории DG-модулей. Если скобка Пуассона равна нулю - аналогично.

Пример таких данных: разрешение Спрингера нильпотентного конуса алгебры Ли, с действием этой самой алгебры Ли. В качестве DG-алгебры берем комплекс Дольбо этого комплексного симплектического многообразия. Или же берем голоморфные функции на нем (с нулевым дифференциалом) и переходим к пучкам. Скобка Пуассона берется из симплектической структуры на разрешении Спрингера. В этом случае я ожидаю, что на категории будет нетривиальная сплетенная моноидальная структура.

Другой пример: берем супералгебру Ли с невырожденной инвариантной метрикой. В качестве алгебры берем полиномиальные функции на нечетной части, с действием четной подалгебры Ли. В этом случае категория должна быть эквивалентна категории представлений этой самой супералгебры Ли. Сплетенная моноидальная структура там тоже есть и соотвествует тому, что супералгебру Ли можно проквантовать.

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Очень интересно. В частности, интересен случай одновременного разрешения Спрингера-Гротендика. Это, примерно, многообразие пар (элемент группы Ли, простой и всякое такое; Борелевская, его содержащая). Оно в общей точке накрывает группу Ли со слоем группа Вейля. Можно туда поднять класс в третьих (эквиварианткых) когомологиях, так появляется канонический жерб. Я подозреваю, что то, что у вас строится -- это категория производная категория пучков, скрученных на этот жерб. Было бы интересно это дело понять и также выясннить, как это связано с соответствующим алгеброидом Куранта.

[kapahel.livejournal.com]

Ты не мог бы пояснить, что значит "соответствующий алгеброид Куранта"? Можно ссылку, даже лучше, наверное.

[hippie57.livejournal.com]

В вещественной или комплексно-аналитической ситуации, если на многообразии задан жерб, то у этого жерба есть нечто, что считается аналогом алгеброида Атьи линейного расслоения, это алгеброид Куранта, называется кондактинг бандл, придуман Шеверой. Если быть честным, никому, видимо, неизвестно, почему этот алгеброид Куранта воплощает симметрии жерба (а на жербе есть 1-связность, кстати). Что известно, это что если жербу сделать трансгрессию и получить из него линейное расслоение на пространстве петель, то из алгеброида Атьи этого расслоения можно испечь алгеброид Куранта на самом многообразии, это и есть кондактинг бандл. Тепеть, у меня давно была мечта по жербу на многообразии построить некую категорию "модулей над алгеброидом Куранта", чья группа Гротендика была бы скрученной К-теорией со скруткой на этот жерб. В частности, такое можно делать в случае канонического жерба на комплексной (или компактной) группе Ли, чтоб получить некую категорию с группой Гротендика -- алгеброй Верлинде соответствующей группы петель. Насколько мне известно, никто такое не сделал (хотя теорема Фрида-Хопкинса-Телемана намекает, что так оно должно бы быть).

[hippie57.livejournal.com]

Да, а можно чуть точнее сказать определение (если с формулами, то лучше по е-мейлу, hippie... toronto etc.)

[posic.livejournal.com]

И мне тоже интересно. При этом в сущестование DG-категории такого рода, которая не была бы DG-категорией CDG-модулей над подходящей CDG-алгеброй я, скажу прямо, не верю.

[leblon.livejournal.com]

Да, я уже разобрался, что все сводится к производной категории модулей над некоммутативной CDG-алгеброй. А именно. Пусть у нас есть пуассонова DG-алгебра (A,d,{,}) (Z_2-градуированная) с гамильтоновым действием алгебры Ли g. Пусть m - это отображение момента, т.е. линейное отображение из g в A, такое что действие элемента x\in g на a\in A есть {m(x),a}. Преположим, что d m(х)=0 для всех х\in g. Предположим, что на g* задана инвариантная симметрическая билинейная форма k, и k(m,m) сидит в пуассоновом центре A. Наконец, пусть m* будет элемент тензорного произведения А и g получающийся применением k к m.

Рассмотрим теперь полупрямое прозведение А и универсальной обертывающей g. m* сидит в этой некоммутативной дифференциальной алгебре и замкнут по отношению к d. Кроме того, как легко видеть, элемент m* четный и сидит в суперцентре. (Тут важно, что k(m,m) сидит в пуассоновом центре А).Значит можно рассматривать полупрямое произведение как Z_2-градуированную CDG алгебру.

Есть и Z-градуированный вариант. Для этого надо предположить, что {,} имеет степень -2. Тогда m и m* имеют степень 2, а остальное все так же.

[posic.livejournal.com]

Ага. Отмечу только, что у CDG-модулей не бывает производной категории, поскольку понятие квазиизоморфизма для них не имеет смысла. Бывают только копроизводная и контрапроизводная категории, которые совпадают, когда градуированная алгебра, подлежащая CDG-алгебре, имеет конечную гомологическую размерность. В этом случае копроизводная = контрапроизводная категория эквивалентна гомотопической категории CDG-модулей, инъективных или проективных как градуированные модули. В частности, любому CDG-модулю можно сопоставить "эквивалентный" ему CDG-модуль, инъективный/проективный как градуированный модуль. Последний CDG-модуль определен однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности.

[leblon.livejournal.com]

"В частности, любому CDG-модулю можно сопоставить "эквивалентный" ему CDG-модуль, инъективный/проективный как градуированный модуль."

Что это значит - "эквивалентный"? И как его построить? У меня очень естественно брать модули, свободные над А, но ведь есть еще универсальная обертывающая... Реально, из физики получается некий конкретный рецепт подсчета морфизмов, который выглядит как деформация стандартного способа вычисления морфизмов в эквивариантной производной категории модулей посредством резольвенты Кошуля (дифференциал в резольвенте Кошуля - это стандатный дифференциал БРСТ, ну а тут его приходится подправить, чтобы тотальный дифференциал все-таки в квадрате был равен нулю).

[posic.livejournal.com]

"Эквивалентный" -- значит изоморфный в копроизводной = контрапроизводной категории. Строится он так: пусть имеется CDG-модуль M над CDG-кольцом B. Рассмотрим M как градуированный B-модуль и представим его в виде образа морфизма из свободного градуированного B-модуля P'. Свободно породим градуированным B-модулем P' CDG-модуль P над B. Это значит, что элементами P будут формальные выражения вида p + d(q), где p и q принадлежат P'. Тогда CDG-модуль P тоже свободен как градуированный B-модуль, и имеется сюръективный морфизм CDG-модулей P -> M. Положим P_0 = P(M) = P, обозначим через K ядро морфизма CDG-модулей P -> М, применим ту же конструкцию к K, положим P_1 = P(K), и т.д.

Таким образом мы получим точную последовательность CDG-модулей ... -> P_2 -> P_1 -> P_0 -> M -> 0, где все CDG-модули P_i свободны как градуированные B-модули. Нам достаточно, чтобы они были проективны как градуированные B-модули. Поскольку кольцо B предполагается имеющим конечную гомологическую размерность, найдется такое n, что ядро Z отображения P_n -> P_{n-1} проективно как градуированный В-модуль. Возьмем тотальный CDG-модуль комплекса CDG-модулей (это как свертка бикомплекса) Z -> P_n -> P_{n-1} -> ... -> P_1 -> P_0. Это будет CDG-модуль над B, проективный как градуированный B-модуль и изоморфный M в копроизводной = контрапроизводной категории CDG-модулей над B. Если N -- другой CDG-модуль над B, то морфизмы M -> N в копроизводной = контрапроизводной категории CDG-модулей над B можно вычислять как морфизмы CDG-модулей P -> N с точностью до гомотопии. Это такая теория проективных резольвент для копроизводной = контрапроизводной категории CDG-модулей над CDG-кольцом конечной гомологической размерности.

Если гомологическая размерность бесконечна, приходится рассматривать бесконечную резольвенту ... -> P_2 -> P_1 -> P_0, и дальше есть выбор между построением ее тотального CDG-модуля с помощью взятия бесконечных прямых сумм или прямых произведений вдоль диагоналей двумерной таблицы. Прямые суммы брать плохо, надо брать произведения, но бесконечные произведения могут не сохранять проективность модулей. Если для конкретного кольца B они ее все-таки сохраняют, получается теория проективных резольвент для контрапроизводной категории CDG-модулей над B.