(no subject)
Mar. 22nd, 2009 05:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonИнтересное кино. Только что родилась новая DG-категория, которая является деформацией эквивариантной категории DG-модулей над алгеброй с действием алгебры Ли. Деформацией примерно в том же смысле, как категория CDG-модулей является деформацией категории DG-модулей. А именно, аналогия в том, что квадрат дифференцирования на модуле не равен нулю, а равен некоторому специальному эндоморфизму модуля. Но в отличие от CDG случая, этот эндоморфизм - не фиксированный элемент алгебры, а нечто такое, что зависит от модуля. Еще одно отличие в том, что на алгебре нужна дополнительная нетривиальная структура. А именно, она должна быть пуассоновой DG-алгеброй, а действие алгебры Ли должно быть "гамильтоновым" (т.е. происходить из скобки Пуассона с некторыми элементами алгебры - "моментами"). Далее, на пространстве, дуальном к алгебре Ли, должна быть задана симметричная билинейная форма, инвариантная по отношению к коприсоединенному представлению. И наконец квадрат "отображения момента" (в смысле этой билинейной формы) должен лежать в пуассоновом центре алгебры, т.е. пуассон-коммутировать со всем.
Вот по таким данным можно построить DG-категорию. Если билинейная форма равна нулю, все сводится к эквивариантной категории DG-модулей. Если скобка Пуассона равна нулю - аналогично.
Пример таких данных: разрешение Спрингера нильпотентного конуса алгебры Ли, с действием этой самой алгебры Ли. В качестве DG-алгебры берем комплекс Дольбо этого комплексного симплектического многообразия. Или же берем голоморфные функции на нем (с нулевым дифференциалом) и переходим к пучкам. Скобка Пуассона берется из симплектической структуры на разрешении Спрингера. В этом случае я ожидаю, что на категории будет нетривиальная сплетенная моноидальная структура.
Другой пример: берем супералгебру Ли с невырожденной инвариантной метрикой. В качестве алгебры берем полиномиальные функции на нечетной части, с действием четной подалгебры Ли. В этом случае категория должна быть эквивалентна категории представлений этой самой супералгебры Ли. Сплетенная моноидальная структура там тоже есть и соотвествует тому, что супералгебру Ли можно проквантовать.
Вот по таким данным можно построить DG-категорию. Если билинейная форма равна нулю, все сводится к эквивариантной категории DG-модулей. Если скобка Пуассона равна нулю - аналогично.
Пример таких данных: разрешение Спрингера нильпотентного конуса алгебры Ли, с действием этой самой алгебры Ли. В качестве DG-алгебры берем комплекс Дольбо этого комплексного симплектического многообразия. Или же берем голоморфные функции на нем (с нулевым дифференциалом) и переходим к пучкам. Скобка Пуассона берется из симплектической структуры на разрешении Спрингера. В этом случае я ожидаю, что на категории будет нетривиальная сплетенная моноидальная структура.
Другой пример: берем супералгебру Ли с невырожденной инвариантной метрикой. В качестве алгебры берем полиномиальные функции на нечетной части, с действием четной подалгебры Ли. В этом случае категория должна быть эквивалентна категории представлений этой самой супералгебры Ли. Сплетенная моноидальная структура там тоже есть и соотвествует тому, что супералгебру Ли можно проквантовать.
