(no subject)

[leblon]

ОК, основы теорфизики - это нереалистично, вычеркиваем.

Какие могут быть более реалистические цели?

Вариант 1-й. Классическая и квантовая механика с геометрической точки зрения, включая интеграл по траекториям. Это все уже есть в монографиях, в общем-то, даже без тензорных индексов. За исключением двух вещей: калибровочных симметрий (метод БРСТ) и систем с суперсимметрией. По ним есть либо обзоры, либо изложения "с индексами". На самом деле, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с теорией Ходжа и методом уравнения теплопроводности в теории индекса эллиптических операторов, которые прекрасно изложены в разных книжках, но интерес представляет как раз переход от классической к квантовой суперсимметричной механике.

Вариант 2-й. Классическая механика и классическая теория поля, с уклоном в суперсимметричные и топологические теории поля. Осовременненный Дубровин-Новиков-Фоменко, в общем. Кроме классической механики суперсимметричных систем, можно описать кучу важных примеров теорий поля: сигма-модели, супер-Янг-Миллс и топологические калибровочные теории. Всякие естественные уравнения (инстантонные, монопольные) тоже естественно включаются. Но если за бортом оставить квантование, то исчезает мотивация все это хозяйство изучать: приложения все основаны на функциональном интеграле. Или не исчезает? Мотивация может быть и "внешней" по отношению к книге.

Вариант 3-й: Какая-то комбинация 1 и 2. Надо как-то ухитриться придать смысл функциональному интегралу в теориях поля, хотя бы в топологических. Например, в качестве определения можно взять рецепт вычисления методом локализации. Сомнительно, что это можно сделать в общем виде. Да и в специальных примерах это сделать непросто. И это будет очень длинно. Нет, без общего понятия функционального интеграла это бессмысленное занятие.

Comments

[posic.livejournal.com]

Вот, таким образом мы придумали пятый вариант: С(x*,y*,z*) = B(x*,u*)B(y*,v*)R(z*,u,v). Графически это, конечно, почти то же самое, что и запись с индексами. Разница в интерпретации: i, j, ... -- это базисные векторы пространств V и V^*, а x, y, ... -- произвольные. Подразумевается, что u\otimes u* = v\otimes v* обозначает элемент следа в пространстве V\otimes V*.

При переходе к геометрии, оказывается, что i, j, ... -- координатные векторные поля, а x, y, ... -- произвольные. Это уже более существенная разница: ведь координатные векторные поля коммутируют, а произвольные -- не обязательно.

[chaource.livejournal.com]

А, кстати, для серьёзныхъ вычисленій всегда предпочтительно, чтобы поля коммутировали - если ихъ можно такими выбрать, чтобы это ничему не помѣшало. Я всегда такъ и дѣлалъ въ своёмъ "курсе ОТО безъ индексовъ". И это уже очень близко къ индексной записи.

[posic.livejournal.com]

Все таки одно дело предполагать векторные поля коммутирующими при вычислениях или доказательствах, там где это допустимо. Скажем, если нужно установить равенство двух тензоров, достаточно проверить, что они совпадают при подстановке коммутирующих векторных полей.

Другое дело предполагать векторные поля коммутирующими, давая определения (как это автоматически получается, когда используется индексная запись). При последнем подходе уже и проверить, является ли какой-то объект тензором, становится нетривиальной задачей.