(no subject)

[leblon]

Посчитал таки первое препятствие к деформации комплексного подмногообразия вдоль голоморфного нормального векторного поля. На эту тему я нашел только статью Кодаиры, там доказано, что все препятствия лежат в H^1(N). Ну, если поработать немного, то можно выцарапать и само препятствие. Довольно страхолюдное, кстати. Кажется, его можно выразить через тензор Римана, но я с этим уже разбираться не стал.

Зато оказалось, что для комплексных лагранжевых подмногообразий комплексного симплектического многообразия все гораздо проще. Во-первых, первое препятствие выражается очень просто через класс, который преставляется второй фундаментальной формой подмногообразия. Во-вторых, в компактном кэлеровом случае все препятствия зануляются (это я вычитал у Claire Voisin).

Comments

[xgrbml.livejournal.com]

А можно спросить, что такое вторая ф.ф. для подмногообразия симплектического многообразия? Что-то не приходит быстро в голову разумного определения.

[leblon.livejournal.com]

Точно так же, как и для любого другого подмнообразия (см. (http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form#Generalization_to_arbitrary_codimension)). Я имел в виду класс в H^1(Hom(NY,TY)), который предстaвляется точной последовательностью

0->TY->TX|_Y ->NY-> 0

где Y - подмногообразие X . Особенность лагранжевого случая - это то, что конормальное расслоение изоморфно касательному, и значит этот класс живет в H^1(TY\otimes TY). Более того, можно показать, что он живет в симметрической части H^1(Sym^2 TY) . Препятствие получается так: берем этот класс и подставляем в него наше голоморфное сечение нормального расслоения. Получаем класс в H^1(O_Y) . Потом применяем к нему оператор Дольбо и получаем класс в H^1(TY*)=H^1(NY). В компактном кэлеровом случае получаюшийся класс тривиален, конечно.

[xgrbml.livejournal.com]

1. Спасибо за ответ.

2. Определение по ссылке я знаю, натурально. Но какая, все-таки, связь у фунд. класса расширения "нормальное с помощью касательного" со II ф.ф.? Ну пусть даже на многообразии задана связность --- как связать сечение некоторого расслоения и класс первых когомологий другого расслоения? Прошу прощения за бестолковость, действительно не понимаю.

[leblon.livejournal.com]

С одной стороны, можно класс расширения представить классом когомологий Дольбо. Выберем для этого эрмитову метрику на многообразии, неголоморфно расщепим при помощи нее точную последовательность, и посчитаем связывающий гомоморфизм. Получим какую-то форму на Y, которая выражается через производные от метрики. Фактически - одну из компонент символа Кристоффеля.

С другой стороны, вторая фундаментальная форма - это тоже одна из компонент символа Кристоффеля. Можно их сравнить, и убедиться, что они совпадают.

[xgrbml.livejournal.com]

Большое спасибо!

Вы не могли бы мне сообщить свое подлинное имя (скажем, комментарием к этому посту --- они все автоматически скрываются, и их никто не увидит)? Я хочу выразить Вам благодарность.