Black body radiation problem

[leblon]

Question: suppose one starts out with a cavity of size L at temperature T and at first there is no electromagnetic radiation in the cavity. How long will it take for the radiation in the cavity to come into equilibrium with the walls of the cavity? Assume that the walls of the cavity are a black body.

Does the answer depend on the frequency? That is, is it possible that some modes are already described by Planck's formula, while others still have very little energy compared to that predicted by Planck's formula?

Comments

[leblon]

Про диэлектрик я не понял: вещественная часть эпсилон не дает никакого затухания.

"Полость" не нужно воспринимать слишком буквально. Считаем, что стенки достаточно толстые, чтобы практически ничего из полости не "вытекало". Конечно, как я уже говорил, это само по себе может быть нереалистичным предположением, если мы имеем дело с очень слабо взаимодействующим излучением (нейтрино, гравитационным). Да и жесткое рентгеновское излучение плохо поглощается многими материалами.

[izba-digest.livejournal.com]

> Про диэлектрик я не понял: вещественная часть эпсилон не дает никакого затухания.

... зато подавляет поле внутри материала.

[leblon]

Но я-то предлагал смотреть на то, как амплитуда или интенсивность меняются как функция координаты вглубь материала. Так что тут только мнимая часть диэлектрической проницаемости играет роль.

[izba-digest.livejournal.com]

Я просто пытаюсь объяснить, почему мне кажется, что глубина --- это неправильная величина: кажется, что есть способ ее уменьшить или увеличить, не особо меняя поглощение. Я, кажется, понял, какая величина должна быть правильной: по флуктуационно-диссипативной теореме обмен энергией между полем и стенкой должен, наверное, описываться вещественной частью поверхностного импеданса материала. То есть величиной с размерностью скорости, а не длины (в системе СГС).

[izba-digest.livejournal.com]

И кажется, я понял, какова нуль-мерная версия этой задачи, которую можно решить сравнительно легко. LC контур подключен к сопротивлению R. Сколько времени потребуется, чтобы белый шум сопротивления вывел энергию контура на значение, предписываемое теоремой о равнораспределении? При больших температурах надо разделить kT на мощность найквистовского белого шума. (При малых температурах надо вставить планковский фактор, разумеется.) Мощность на единицу частотного диапазона есть 4 kT, ее нужно сосчитать в полосе пропускания контура с сопротивлением. Таким образом, получаем время релаксации к равновесию, равное обратной полосе пропускания. Полосу можно написать в разных эквивалентных формах, наверное, имея в виду обобщение на многомерный случай, лучше всего так: полоса есть сопротивление, деленное на импеданс контура Z = sqrt(L/C), умноженное на резонансную частоту omega_0: delta omega = R / Z * omega_0.

Если обобщать на многомерный случай, то, наверное, R надо заменить вещественной частью поверхностного импеданса на данной частоте, а Z -- импедансом вакуума (с в СГС, sqrt(mu_0/epsilon_0) в СИ). Но все-таки где-то еще должно войти и расстояние между стенками.

[izba-digest.livejournal.com]

А одномерная версия может быть такая. Пусть есть transmission line с импедансом вакуума, на ее концах два сопротивления R. (Мне хочется сделать их порядка кванта сопротивления h/e^2, что в 137 раз больше, чем в линии.) Тогда на концах линии генерируется случайное напряжение V(t) по Накйвистy, но в линию улетает не оно: из-за рассогласования в линии возбуждается волна меньшей амплитуды V'(t, x) = V(t - x/v) * R / (Z + R). Тогда понятно, что через половину время пролета в центре образуется шумящий сигнал от двух концов, но его мощность все еще меньше тепловой, в Z/R раз. И потребуется много (~R/Z) пролетов туда-сюда, прежде чем накопится тепловая мощность. Если сопротивление порядка кванта, то получается время релаксации в 1/alpha раз длиннее пролетного времени, потому что сопротивления на концах не очень-то черные: у них коэффициент отражения отличается от единицы на R/Z. (Поэтому то же самое можно вывести и проще, заметив, что раз лишний фотон в линии будет поглощен за R/Z пролетов, то и недостача будет восполнена за то же время.)