Black body radiation problem

[leblon]

Question: suppose one starts out with a cavity of size L at temperature T and at first there is no electromagnetic radiation in the cavity. How long will it take for the radiation in the cavity to come into equilibrium with the walls of the cavity? Assume that the walls of the cavity are a black body.

Does the answer depend on the frequency? That is, is it possible that some modes are already described by Planck's formula, while others still have very little energy compared to that predicted by Planck's formula?

Comments

[juan_gandhi]

Узнал много нового, пофиксил мои школьные знания.

[tretiykon]

у меня получилось, что за время, которое нужно свету, чтобы пролететь полость.

[leblon]

Потому что тело черное?

[izba-digest.livejournal.com]

Думаю, что зависит, потому как вероятность излучения сильно зависит от частоты. Давайте вместо того чтобы красить стенки черной краской, поместим в полость какие-нибудь атомы и молекулы с разными резонансными частотами, от оптических до микроволновых. Время релаксации к равновесию более-менее есть время излучения одного фотона. Возбужденный атом водорода излучает один оптический фотон за примерно наносекунду. А вот молекула аммиака излучает микроволновой фотон (~30 GHz, что на 4 порядка ниже оптики) за гораздо большее время, потому что вероятность дипольного излучения ведет себя как частота в кубе (из-за плотности конечных фотонных состояний), и наносекунда превратится в минуты, а то и в час.(Матричный элемент дипольного момента в обоих случаях порядка размера атома или молекулы, то есть порядка ангстрема.) Соответственно, если мы смотрим на то, что происходит на временах порядка секунд или миллисекунд, то мы увидим, что оптические и инфракрасные частоты пришли в равновесие, а микроволновые еще нет.

Можно еще стенки покрыть графеном, он черный с универсальным коэффициентом поглощения pi*alpha = 2.3%, который не зависит от частоты. Но опять-таки по соотношениям Эйнштейна сие означает, что излучать он будет как куб частоты, то есть медленно на низких частотах.

[tretiykon]

Да, стенки теряют энергию по закону Стефана-Больцмана (предположим что не остывают). Обратно поглощают по тому же закону, но температура излучения ниже. Получается что разность температур будет убывать как exp(-(числовой множитель~1)ct/L)

[izba-digest.livejournal.com]

Для метровой полости это дает время порядка трех наносекунд (для всех частот), что сравнимо со временем спонтанного испускания отдельных фотонов атомами на оптических частотах. А если полость меньше (10 сантиметров, например), то еще короче. Но тепловое равновесие устанавливается не за счет разлета фотонов по полости, а за счет испускания и поглощения атомами. Поэтому для меньших частот (инфракрасное, терагерцовое, микроволновое излучение) скорость процесса определяется вероятностью излучения, а не временем пролета через полость.

[izba-digest.livejournal.com]

... но вообще-то еще надо учесть, что излучающих атомов много, и в ответ должно войти их число.

[leblon]

Я думаю, надо различать случай нескольких атомов в полости с зеркальными стенками и случай полости с поглощающими стенками. Мой вопрос был про второй случай. И в том, и в другом случае, конечно, дело во взаимодействии между атомами и излучением. Но второй случай выглядит проще. Там можно охарактеризовать взаимодействие длиной поглощения: на каком расстоянии интенсивность волны затухает в е раз. Время установления равновесия никак не может быть меньше этой длины поделенной на скорость света. Конечно, оно не может быть и меньше времени пролета света через полость. Думаю, "правильный" ответ - это максимальное из этих двух времен. Например, если бы мы вместо фотонов рассмотрели нейтрино, то длина поглощения была бы чудовищно большой, и для всех разумных ("лабораторных") размеров полости время установления равновесия определялось бы длиной затухания. А для света наоборот: длина поглощения обычно очень мала, так что равновесие устанавливается за время пролета. Но, конечно, длина поглощения зависит от частоты света. Для радиоволн она может быть очень большой, намного больше толщины стенок полости, так что там равновесие вообще никогда не установится. Ну и совсем экстремальный случай: гравитационные волны. Там длина поглощения должна быть астрономической, никаких стенок не хватит для установления равновесия.

[leblon]

https://leblon.dreamwidth.org/351928.html?thread=1971896#cmt1971896

[izba-digest.livejournal.com]

Боюсь, что я не совсем согласен про глубину проникновения. Сделайте стенки полости из сверхпроводника, и они будут подавлять микроволны на майсснеровской длине, не поглощая их. Тут какой-то другой параметр нужен.

[leblon]

Ну, сверхпроводящие стенки - это экзотика. Предполагается материал в "нормальной" фазе. Хотя, конечно, это хороший способ "поймать" сравнительно длинноволновое излучение внутри полости.

[izba-digest.livejournal.com]

Это скорее контрпример, чтобы объяснить, почему способность вещества подавлять поле внутри не имеет такой прямой связи с поглощением. Менее экзотический пример: диэлектрик с большой вещественной частью epsilon(omega) и не такой большой мнимой. (Это уже не такая уж экзотика: даже на оптических частотах у многих металлов вещественная часть порядка 10, а мнимая порядка 1.)

Еще один момент, который надо как-то учесть, это что поглощение/испускание происходит на поверхности, а фотонные состояния, которые надо заполнить, они в объеме. С ростом размера полости число излучающих атомов растет как R^2, а число фотонов, которые надо излучить, чтобы установить тепловое распределение растет как R^3. То есть каждый атом должен излучить число фотонов, которое порядка радиуса, деленного на длину волны.

[leblon]

Про диэлектрик я не понял: вещественная часть эпсилон не дает никакого затухания.

"Полость" не нужно воспринимать слишком буквально. Считаем, что стенки достаточно толстые, чтобы практически ничего из полости не "вытекало". Конечно, как я уже говорил, это само по себе может быть нереалистичным предположением, если мы имеем дело с очень слабо взаимодействующим излучением (нейтрино, гравитационным). Да и жесткое рентгеновское излучение плохо поглощается многими материалами.

[izba-digest.livejournal.com]

> Про диэлектрик я не понял: вещественная часть эпсилон не дает никакого затухания.

... зато подавляет поле внутри материала.

[leblon]

Но я-то предлагал смотреть на то, как амплитуда или интенсивность меняются как функция координаты вглубь материала. Так что тут только мнимая часть диэлектрической проницаемости играет роль.

[izba-digest.livejournal.com]

Я просто пытаюсь объяснить, почему мне кажется, что глубина --- это неправильная величина: кажется, что есть способ ее уменьшить или увеличить, не особо меняя поглощение. Я, кажется, понял, какая величина должна быть правильной: по флуктуационно-диссипативной теореме обмен энергией между полем и стенкой должен, наверное, описываться вещественной частью поверхностного импеданса материала. То есть величиной с размерностью скорости, а не длины (в системе СГС).

[izba-digest.livejournal.com]

И кажется, я понял, какова нуль-мерная версия этой задачи, которую можно решить сравнительно легко. LC контур подключен к сопротивлению R. Сколько времени потребуется, чтобы белый шум сопротивления вывел энергию контура на значение, предписываемое теоремой о равнораспределении? При больших температурах надо разделить kT на мощность найквистовского белого шума. (При малых температурах надо вставить планковский фактор, разумеется.) Мощность на единицу частотного диапазона есть 4 kT, ее нужно сосчитать в полосе пропускания контура с сопротивлением. Таким образом, получаем время релаксации к равновесию, равное обратной полосе пропускания. Полосу можно написать в разных эквивалентных формах, наверное, имея в виду обобщение на многомерный случай, лучше всего так: полоса есть сопротивление, деленное на импеданс контура Z = sqrt(L/C), умноженное на резонансную частоту omega_0: delta omega = R / Z * omega_0.

Если обобщать на многомерный случай, то, наверное, R надо заменить вещественной частью поверхностного импеданса на данной частоте, а Z -- импедансом вакуума (с в СГС, sqrt(mu_0/epsilon_0) в СИ). Но все-таки где-то еще должно войти и расстояние между стенками.

[izba-digest.livejournal.com]

А одномерная версия может быть такая. Пусть есть transmission line с импедансом вакуума, на ее концах два сопротивления R. (Мне хочется сделать их порядка кванта сопротивления h/e^2, что в 137 раз больше, чем в линии.) Тогда на концах линии генерируется случайное напряжение V(t) по Накйвистy, но в линию улетает не оно: из-за рассогласования в линии возбуждается волна меньшей амплитуды V'(t, x) = V(t - x/v) * R / (Z + R). Тогда понятно, что через половину время пролета в центре образуется шумящий сигнал от двух концов, но его мощность все еще меньше тепловой, в Z/R раз. И потребуется много (~R/Z) пролетов туда-сюда, прежде чем накопится тепловая мощность. Если сопротивление порядка кванта, то получается время релаксации в 1/alpha раз длиннее пролетного времени, потому что сопротивления на концах не очень-то черные: у них коэффициент отражения отличается от единицы на R/Z. (Поэтому то же самое можно вывести и проще, заметив, что раз лишний фотон в линии будет поглощен за R/Z пролетов, то и недостача будет восполнена за то же время.)