Новые песни о старом

[leblon]

В свое время, когда я изучал 6й том Ландау-Лифшица (ЛЛ), я пропустил главу про релятивистскую гидродинамику. Мол, это, наверное, тривиальное обобщение обычных уравнений Навье-Стокса, и нужно оно только астрофизикам. А пару месяцев назад узнал, что там все довольно непросто. Оказывается, еще с 70х годов известно, что хотя с идеальной (т.е. невязкой) релятивистской гидродинамикой все в порядке, добавление диссипативных членов в уравнения приводит к нарушению причинности. Странно, правда? Дело вот в чем. В вязкой жидкости, кроме звуковых волн, есть еще диффузия завихренности (как раз благодаря вязкости). Звуковые волны описываются гиперболическим уравнением, а диффузия - параболическим. Если скорость звуковых волн меньше скорости света, то они распространяются внутри светового конуса и причинности не нарушают. А вот диффузия - нарушает.

Есть и несколько разных способов "улучшить" релятивистскую гидродинамику. Самый известный вариант - теория Израэля-Стюарта. Во всех вариантах приходится добавлять лишние степени свободы, чтобы превратить параболическое уравнение диффузии в гиперболическое. В результате диффузия завихренности превращается в  "волны завихренности". Если скорость их распространения меньше скорости света, то опять все в порядке. Например, в голографических моделях плазмы, основанных на AdS/CFT (слава Малдасене!), эту скорость можно посчитать, и она ненамного, но меньше скорости света.

Но что же это за новые степени свободы, которые приходится добавлять? В чем их физический смысл? Вот, например, когда в сверхтекучем гелии-4 рассказывают про второй звук, то объясняют "на пальцах" в чем его смысл: мол, есть сверхтекучая компонента жидкости, а есть нормальная, поэтому и возникает второй звук. Некоторые предлагают "не обращать внимания" на эти новые степени свободы, говоря, что на больших масштабах (времени и расстояний) теории типа Израэля-Стюарта не отличаются от ЛЛ, а на малых расстояниях и промежутках времени гидродинамика все равно не применима, ее надо заменять микроскопической теорией. Это правда, но не вся правда. Например, что будет, если наблюдатель движется с большой скоростью в системе покоя жидкости? В теории с волнами завихренности, мы увидим, что если двигаться достаточно быстро, то распространение завихренности можно "обогнать." В теории же ЛЛ, быстро двигающийся наблюдатель увидит, что завихренность обогнать нельзя, потому что она распространяется мгновенно, но зато система нестабильна: есть возмущения, которые экспоненциально растут со временем. Это вполне ощутимая физическая разница. Возможно, выход в том, что макроскопическое описание, вроде гидродинамики, применимо только если наблюдатель движется не очень быстро, намного медленнее чем скорость этих самых "волн завихренности". В нерелятивистской гидродинамике подобного ограничения нет. Но все равно неясно, какова физическая причина такого ограничения.

Comments

[duchifat.livejournal.com]

Кажется, согласование термодинамики с СТО тоже связано с большими проблемами? Вплоть то того, что не ясно, как температура и энтропия преобразуется при переходе из одной системы отсчета в другую - то ли остается инвариантной, то ли делится на (1-V^2/C^2)^0.5, то ли умножается. Что странно.

[leblon.livejournal.com]

Энтропия никак не преобразуется, конечно: это же просто логарифм числа состояний. Температура должна домножаться на тот же фактор, что и энергия, чтобы первое начало термодинамики выполнялось. Впрочем, статья Израэля в Анналах, на которую я поставил ссылку, это все должна обсуждать.

[duchifat.livejournal.com]

Я имел в виду примерно такие рассуждения:
http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/38/13/001/meta
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437104004017
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960196007918
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01375397

[locutus-feles.livejournal.com]

Более того, с теплопроводностью в твердых телах такая же фигня. Дошло до того, что экспериментально обнаружили тепловые волны при некоторых специфических условиях, однако закон Фурье не дает волнового решения, так как там уравнения параболического типа. А вот привести к уравнениям гиперболического типа пока что не получается. Вот и думай, что будет с распространением тепла в теле со стороны релятивистского наблюдателя;)

[leblon.livejournal.com]

Это интересно. А ссылочкой не поделитесь?

На самом деле, ясно, что и в нерелятивистской ситуации ничего не может распространяться мгновенно, при локальных взаимодействиях. Будь то жидкость или твердое тело. Все должно распространяться со скоростью порядка скорости звука. Собственно, еще Максвелл предлагал "гиперболическое" обобщение закона Фурье для теплопроводности,

[leblon.livejournal.com]

А, я думал, в этих спорах пыль улеглась еще в 30х годах. А вот на тебе.

[locutus-feles.livejournal.com]

Да хотя бы вот здесь

https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_heat_conduction

Видел одного товарища из ИПМ, который на одной конференции предлагал ввести новую сущность для определения температуры (представить это как некоторое новое скалярное поле?) и тоже привести закон Фурье к гиперболическому виду. К сожалению, когда дело дошло до построения практической теории, оказалось, что ему надо экспериментально определять более сотни свободных параметров...

"Kакова физическая причина такого ограничения"

[vk-physics.livejournal.com]

Не понимаю. Амплитуда волны не связана с физическим перемещением вещества, ну, в смысле, если две звуковые волны идут навстречу друг другу, но под небольшим углом, то точка их пересечения (пик амплитуды) может "перемещаться" с любой скоростью.

Есть и ударные волны, которые быстрее звука.

Уравнение теплопроводности, как и уравнение диффузии, основанные на первом (градиентном) члене, как первопричине переноса, есть приближения с соответствующими неравенствами. Они выводятся.

Конечно, трудно придумать новое уравнение для старых переменных. Правильнее вводить новые переменные, как это имеет место для связи уравнения Больцмана и цепочки кинетических уравнений для многочастичных функций распределения (последние и есть новые переменные).

Можно пытаться подбирать (придумывать) новые уравнения для старых переменных, но подавив один нежелательный эффект, можно нечаянно ввести другой. Лучше всего выводить уравнения из беспроблемных и более точных уравнений, если таковые имеются. Тогда и неравенства станут явными.

Для релятивизма нужны релятивистские функции распределения, чтобы сами частицы не могли летать быстрее скорости света, иначе диффузия быстрее скорости света будет принципиально возможна.