Chern-Simons and Postnikov square

[leblon]

Полгода назад узнал я, что такое квадрат Понтрягина. А сегодня вот прочитал про квадрат Постникова. Похоже на действие Черна-Саймонса, только для конечных групп. Т.е. пусть у нас есть конечная абелева группа А и квадратичная функция на ней со значениями в Q/Z. Квадрат Постникова это такая операция которая из 1-коцикла со значением в А строит 3-коцикл со значением в Q/Z. Проинтегрировав по фундаментальному классу 3 мерного многообразия получаем число (действие).  Так вот у меня вопрос. Мы можем определить "дискретную калибровочную теорию" основанную на паре (A,q). Какое она имеет отношение к теории Черна-Саймонса с абелевой калибровочной группой? Она не может ей быть эквивалентна, потому что теория Черна-Саймонса имеет framing anomaly (статсумма зависит от тривиализации касательного расслоения). 

Comments

[sea-hog.livejournal.com]

A quadratic form on A is the same as a space with \pi_2=A, \pi_3=Q/Z and all the other homotopy groups trivial. Such a space can be described as a bundle over K(A,2) with fiber K(Q/Z,3);
equivalently as a map K(A,2)->K(Q/Z,4) (since K(Q/Z,4) is the classifying space for bundles with fiber K(Q/Z,3)). Applying the loop space functor to this map we get a map
K(A,1)->K(Q/Z,3). I bet that this is the Postnikov square from your post.

[leblon.livejournal.com]

Yes, I got it already. Утро вечера мудренее.

Остается только написать явно 3-коцикл, соответствующий квадратичной функции.

[sea-hog.livejournal.com]

This is nice formula! I don't see immediately that this is 3-cocycle so.

Another way to think about this is in terms of monoidal categories: quadratic form is the same
as braided category with set of simple objects A; then the 3-cocycle in question is just associator
of this category. In particular this shows that for A of odd order the operation is trivial, everything
interesting happens in 2-torsion.

[leblon.livejournal.com]

Я там напутал. На самом деле, я вот что имел в виду. Пусть у нас есть группа A=Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_K. Тогда квадратичной функции q:A->Q/Z можно сопоставить такой 3-коцикл на А со значениями в Q/Z:

f(a,b,c)=\sum_{ij} q_{ij} a^i [(b^j+c^j)/n_j],

где мы отождествляем Z/n с целыми числами в интервале [0,n-1], а [x] обозначает целую часть x.

[leblon.livejournal.com]

You are right, this is by far easier. The formula for the associator is well-known, and this is the desired 3-cocycle.