Гармонический осциллятор strikes back

[leblon]

Вот, казалось бы, детская задачка. У нас есть двумерный квантовый гармонический осциллятор, в основном состоянии. Допустим, мы решили мерить какую-то линейную комбинацию двух координат и какую-то другую линейную комбинацию двух импульсов. Поскольку это только часть наблюдаемых, то результаты измерений описываются матрицей плотности, а не волновой функцией. Т.е. состояние смешанное. Задача: посчитать энтропию этой матрицы плотности.

Думаете, просто? Как бы не так! Я три дня пробился и довел задачу до такого состояния, когда уже в принципе понятно, как закончить расчет, но формулы настолько ужасные, что конечный результат почти наверняка будет практически бесполезным. Типичная задача-гроб. (Матрица плостности получается термальная, кстати, но для очень сложного гамильтониана).

А ведь я хотел изначально решить такую же задачу для N-мерного осциллятора. Теперь надежды на это никакой.

UPD. Для двумерного осциллятора все решилось! Ответ очень простой. Я просто не с того конца заходил. Наверное, и в общем случае все посчитается. 

Comments

[vladimir-anski.livejournal.com]

@Chaource: я так и думал, поэтому и назвал такую матрицу плотности "эффективной" (вычисляемой, а не измеряемой).

@Leblon: даже eсли брать одномерный осциллятор и координату в качестве случайной переменной, то, конечно, квантовая механика дает вероятности из которых можно состряпать "энтропию", но я не понимаю ее смысла.

Из известных систем, атом представляет собой наглядный пример, где переменные электрона и ядра описываются матрицами плотности. Самый простой пример это позитроний в состояниях с определенными главным квантовым числом n и орбитальным моментом l. Не смотря на то, что орбитальный момент относительного движения имеет определенное значение l, орбитальные моменты электрона l_e и позитрона l_p по отдельности собственных значений не имеют. Казалось бы, в позитронии орбитальные моменты отдельных частиц равны по половинке полного орбитального момента, ан нет, в каждом есть еще и "флуктуирующее" слагаемое, которое портит их определенность, и лишь в сумме флуктуирующие слагаемые взаимно уничтожаются.

А осциллятор интересен еще и тем, что в так называемых "смешанных переменных" и решаемый по теории возмущений, он дает совершенно законные поправки к массам нулевого приближения. ("Смешанные переменные" не имеют никакого отношения к смешанным состояниям, это случайное совпадение терминов).