Гармонический осциллятор strikes back

[leblon]

Вот, казалось бы, детская задачка. У нас есть двумерный квантовый гармонический осциллятор, в основном состоянии. Допустим, мы решили мерить какую-то линейную комбинацию двух координат и какую-то другую линейную комбинацию двух импульсов. Поскольку это только часть наблюдаемых, то результаты измерений описываются матрицей плотности, а не волновой функцией. Т.е. состояние смешанное. Задача: посчитать энтропию этой матрицы плотности.

Думаете, просто? Как бы не так! Я три дня пробился и довел задачу до такого состояния, когда уже в принципе понятно, как закончить расчет, но формулы настолько ужасные, что конечный результат почти наверняка будет практически бесполезным. Типичная задача-гроб. (Матрица плостности получается термальная, кстати, но для очень сложного гамильтониана).

А ведь я хотел изначально решить такую же задачу для N-мерного осциллятора. Теперь надежды на это никакой.

UPD. Для двумерного осциллятора все решилось! Ответ очень простой. Я просто не с того конца заходил. Наверное, и в общем случае все посчитается. 

Comments

[vladimir-anski.livejournal.com]

Наверное, я не понимаю квантовую механику, но как осциллятор в основном состоянии может быть в смешанном состоянии? Если мы в чистом состоянии измеряем лишь одну из наблюдаемых, то результат все равно выражается через волновую функцию этого состояния, включая, конечно, и матричные элементы соответствующей "эффективной матрицы плотности". Так что энторпия ноль, а матрица плотности "не настоящая" - не все наблюдаемые вычисляются именно с ней.

[chaource.livejournal.com]

Я когда-то давно пытался вычислить энтропiю матрицы плотности гауссовой формы, rho (x,y) = exp (-(x-y)^2), но не смогъ съ наскока. Это кажется вообще тяжелая задача. А какимъ способомъ вы вычисляли?

vladimir_anski
Задача, насколько я понялъ, стоит такъ: дано чистое состоянiе съ матрицей плотности |psi(x,y)><psi(x,y)| . Мы обязуемся не измѣрять какую-то часть координатъ, напримѣръ координату x, - разрѣшается измѣрять лишь координату y. Тогда любыя измѣренiя координаты y можно описать, зная лишь нѣкоторую матрицу плотности, зависящую только отъ y.

Чтобы вычислить эту матрицу, берется слѣдъ отъ |psi(x,y)><psi(x,y)|, но не полностью (получилось бы 1), а только по координатѣ x. Получится какая-то другая матрица плотности, зависящая теперь только от y. Насколько я понялъ, рѣчь идетъ объ энтропiи этой послѣдней матрицы.

[leblon.livejournal.com]

На самом деле, я просто неправильно это делал, задача несложная. Такие состояния называют гауссовыми. Про них можно думать как пропагатор (ядро уравнения теплопроводности) для гармонического осциллятора (в Вашем случае одномерного). Его энтропия вычисляется переходом к преставлению чисел заполнения. Тогда сразу видно, что это просто гиббсовская матрица плотности для какой-то температуры. Значит ее энтропия получается из partition function для гармонического осциллятора простым дифференцированием по температуре.

Моя ошибка была в том, что я пытался начать с формулировки в базисе когерентных состояний, а не в координатном базисе.

[vladimir-anski.livejournal.com]

@Chaource: я так и думал, поэтому и назвал такую матрицу плотности "эффективной" (вычисляемой, а не измеряемой).

@Leblon: даже eсли брать одномерный осциллятор и координату в качестве случайной переменной, то, конечно, квантовая механика дает вероятности из которых можно состряпать "энтропию", но я не понимаю ее смысла.

Из известных систем, атом представляет собой наглядный пример, где переменные электрона и ядра описываются матрицами плотности. Самый простой пример это позитроний в состояниях с определенными главным квантовым числом n и орбитальным моментом l. Не смотря на то, что орбитальный момент относительного движения имеет определенное значение l, орбитальные моменты электрона l_e и позитрона l_p по отдельности собственных значений не имеют. Казалось бы, в позитронии орбитальные моменты отдельных частиц равны по половинке полного орбитального момента, ан нет, в каждом есть еще и "флуктуирующее" слагаемое, которое портит их определенность, и лишь в сумме флуктуирующие слагаемые взаимно уничтожаются.

А осциллятор интересен еще и тем, что в так называемых "смешанных переменных" и решаемый по теории возмущений, он дает совершенно законные поправки к массам нулевого приближения. ("Смешанные переменные" не имеют никакого отношения к смешанным состояниям, это случайное совпадение терминов).

[poluyan.livejournal.com]

Не совсем по теме. Просто вопрос к профессионалу. Скажите, пожалуйста, не было ли попыток обобщения гильбертова пространства на случай несчетного бесконечного числа измерений. Понимаю, что это нечто абсурдное - любое разложение всегда есть счетный набор членов разложения. Но все же. Разные ведь бывают попытки, даже абсурдные.