(no subject)

[leblon]

Кстати, вот забавное упражнение. Пусть у нас есть некоммутативное кольцо А с единицей, и элементы a и b из A имеют такое свойство: 1-xa и 1-xb обратимы слева для любого x из А. Можно доказать, что 1-x(a+b) тоже обратим слева для любого x. Задача: написать явную формулу для обратного от 1-x(a+b).

Comments

[mancunian.livejournal.com]

u(1-xa) = v(1-xb) = 1, откуда xa = 1+1/u, xb = 1+1/v, где 1/u, 1/v - левые обратные. Так что 1-xa-xb = 1-1/u-1/v, и 1/(1-xa-xb) = 1/(1-1/u-1/v).

Или имеется в виду что-то другое?

[leblon.livejournal.com]

Имеется в виду получить такую фрмулу, чтобы из нее было сразу видно, что 1/(1-xa-xb) хорошо определено.

[chaource.livejournal.com]

Funny exercise, and seems to be simple, unless I'm mistaken here.

Denote by f_a the function that maps x into the left inverse of 1-xa, so that f_a(x) (1-xa)=1 for all x. Then we are told that the functions f_a and f_b exist. Compute f_a(x) (1-xa-xb) and see what happens:

f_a(x) (1-xa-xb) = f_a(x) (1-xa) - f_a(x) xb= 1 - f_a(x)xb.

So now obviously this has the left inverse f_b (f_a(x)x). Therefore

f_b(f_a(x)x) f_a(x) (1-xa-xb) = 1.

[leblon.livejournal.com]

Ага :)