(no subject)

[leblon]

Купил любопытную книгу Дж. Макки "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics". Старая - 1963 г. Спасибо Dover Books, что переиздали. Там как раз много есть про логическую структуру QM. Буду читать.

Пролистывая книгу, заметил следующее интересное утверждение: статистический характер квантовой механики диктуется невозможностью одновременного измерения всех наблюдаемых в одной системе (из-за некоммутативности). Состояние системы определяется результатами всех возможных измерений, но невозможно измерить все, если в нашем распоряжении только одна система. Если же иметь много копий одной и той же системы, то у одной можно измерить импульс, у другой - координату, и т.д. Но много идентичных систем - это уже ансамбль. Именно про него и имеет смысл говорить в квантовой механике, а не про отдельную систему. Макки приписывает это соображение фон Нейману. Интересно, неужели статистическую интерпретацию можно вывести из некоммутативности наблюдаемых? Сомнительно что-то.

Кстати, оказывается Стивен наш Вайнберг придумал в 1989 нелинейный вариант QM. (Статья называется "Testing Quantum Mechanics".) Идея примерно следующая. Пусть V - гильбертово пространство нашей системы. Обычно наблюдаемой сопоставляется линейный оператор из V в V. Можно про него думать как квадратичную функцию на произведении V с V*. Предлагается рассматривать более общие функции как наблюдаемые. (Не совсем произвольные: там еще есть условие однородности, чтобы эти функции не менялись при домножении вектора состояния на число). Аналог собственного вектора - это критическая точка функции. Однако я пока не понял, какой аналог разложения по собственным векторам. Другими словами, согласно автору, для любой наблюдаемой ее среднее значение в каком-то состоянии дается просто значением соответствующей функции. Но вот как посчитать вероятность получения какого-то конкретного значения наблюдаемой - Вайнберг не говорит.

Comments

[ded-maxim.livejournal.com]

Да, занятная книга. Я, помнится, будучи аспирантом, искал ее в букинистических, ибо доверовского издания тогда еще не было. В результате пришлось брать в библиотеке и ксерить.

Я ее давно читал, так что не помню, действительно ли Макки говорит, что статистическую интерпретацию КМ можно вывести из некоммутативности. Точнее было бы сказать, что из борновской статистической интерпретации волновой функции (шире, фон-неймановской интерпретации оператора плотности) вместе с некоммутативностью можно вывести квантовую статистику, разве нет?

[leblon.livejournal.com]

"Я ее давно читал, так что не помню, действительно ли Макки говорит, что статистическую интерпретацию КМ можно вывести из некоммутативности."

Макки про это мало очень пишет, всего один абзац. Говорит, что про это подробно написано у фон Неймана, но не говорит, где.

"Точнее было бы сказать, что из борновской статистической интерпретации волновой функции (шире, фон-неймановской интерпретации оператора плотности) вместе с некоммутативностью можно вывести квантовую статистику, разве нет?"

А что Вы имеете в виду под квантовой статистикой?

Мне бы как раз хотелось понять, откуда берется борновская интерпретация волновой функции. Т.е. до какой степени математический аппарат QM (наблюдаемые как операторы в гильбертовом пространстве) ограничивает возможные интерпретации. И что будет, если как-то "продеформировать" матаппарат. Фон Нейман, которому матаппарат QM тоже не нравился, пытался заменить алгебру операторов в гильбертовом пространстве на другую ассоциативную алгебру. (Отсюда и пошла теория алгебр фон Неймана.) Мне кажется, что наличие ассоциативного умножения физически ничем не мотивировано. А вот у Вайнберга наблюдаемые образуют неассоциативную алгебру, но так, что антикоммутатор удовлетворяет тождеству Якоби, т.е. имеем структуру алгебры Ли. Поэтому уравнения Гейзенберга имеют такой же вид, как и в обычной QM. Но отсутствие ассоциативности приводит к проблемам со статистической интерпретацией вайнберговского формализма. Внимание, вопрос: насколько эти проблемы преодолимы, и какие ограничения на матаппарат QM накладывает существование разумной интерпретации (теории измерений)?

[ded-maxim.livejournal.com]

Говорит, что про это подробно написано у фон Неймана, но не говорит, где.

Скорее всего, в "Математических основаниях квантовой механики".

А что Вы имеете в виду под квантовой статистикой?

Это я неточно выразился -- речь шла как раз о борновской интерпретации, а не о бозонах с фермионами, как могло показаться.

Если мне не изменяет память, алгебрами фон Неймана (они же W*-алгебры) в основном пользуются в КТП (Рудольф Хааг, например), а в "обычной" КМ (с конечным числом степеней свободы) все сводится к C*-алгебрам, то есть, по теореме ГНС, к операторам над гильбертовым пространством. Но даже и в случае алгебр фон Неймана я не помню никаких попыток вывести статистическую интерпретацию из матаппарата, она всегда задавалась на уровне аксиоматики (наблюдаемые образуют алгебру фон Неймана, а состояния над этой алгеброй интерпретируются как матожидания). С другой стороны, попытки вывести матаппарат КМ из некоторых первичных предпосылок относительно экспериментов и измерений мне встречались, вот например http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603011.

[sowa.livejournal.com]

Хорошая книжка, я ее читал (русский перевод) в студенческие годы. Написана понятно для математиков, что, впрочем, неудивительно, поскольку автор - математик.

[leblon.livejournal.com]

Я еще тут нашел хорошую книгу, более современную, чем Макки:
D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic, Springer, 1989. Там подробно обсуждается понятие измерения, эксперимента, события, и минимальная система аксиом которым все это должно удовлетворять. Результат примерно как у Макки: операторы в гильбертовом пространстве удовлетворяют всем аксиомам, но неясно, какие еще неклассические реализации могут быть у этих аксиом.

Я думаю, и у Макки и у Коэна не хватает важных аксиом динамического характера, связанных с понятием непрерывной симметрии и генератора симметрии. А именно, нужно потребовать, чтобы наблюдамые образовывали алгебру Ли. Вполне возможно что "логические" и "динамические" аксиомы имеют более-менее единственую общую реализацию .

[sowa.livejournal.com]

А разве у Макки нет скобок Пуассона и гамильтонианов? По моим воспоминаниям, там эти вещи сначала объясняются для случая классической механики, и затем строятся соответствующие квантовые понятия. Про симметрии не помню, но неужели Макки, специалист по представлениям групп, ничего про них не сказал?

[leblon.livejournal.com]

Вы все правильно помните. Но, удивительным образом, структура алгебры Ли не упоминается при обсуждении аксиом квантовой механики. Только в самом конце главы про структуру QM указывается, что уравнения движения Гейзенберга аналогичны гамильтоновым, если считать коммутатор аналогом скобки Пуассона. Но это наблюдение не играет никакой роли в построении аксиоматики.

[leblon.livejournal.com]

Точнее: важнейшее отличие "квантовой логики" от классической в том, что не все наблюдамые можно измерить одновременно. Максимально возможный набор одновременно измеримых наблюдаемых, в обычной квантовой теории, - это тоже самое, что подалгебра Картана в алгебре Ли всех операторов. Очень естественно взять это за аксиому (есть хорошие физические причины). Я подозреваю, что тогда алгебра операторов в гильбертовом пространстве будет единственной структурой, удовлетворяющей всем аксиомам.

Пояснение: структура алгебры Ли на наблюдаемых в квантовой теории - это аналог симплектической структуры на фазовом пространстве в классической механике. Если уж мы принимаем "на веру", что в классическом пределе уравнения движения выводятся из функционала действия (это синоним симплектичности), то очень естественно в кавнтовой теории иемть структуру алгебры Ли на пространстве наблюдаемых.

[ded-maxim.livejournal.com]

Эту книгу перевели на русский? Здорово! А вы не знаете, случайно, выходил ли русский перевод книжки Барри Саймона про функциональные интегралы?

[sowa.livejournal.com]

Очень давно перевели. Когда я ее читал, она была уже библиографической редкостью.

Саймона, насколько мне известно, переводили только совместный с М. Ридом четырехтомник, и "Модель P(\phi)_2 евклидовой квантовой теории поля". А эта книжка Саймона, если я не ошибаюсь, недавно переиздана на английском.

[ded-maxim.livejournal.com]

Спасибо. Да, я не так давно видел это переиздание (в серии Челси, кажется). Еще вышло новое издание его тоненькой книжки про ядерные операторы.

Полу-офф-топик

[sowa.livejournal.com]

Вы не могли бы кратко прокомментировать вот это:

http://terrytao.wordpress.com/2007/02/26/quantum-mechanics-and-tomb-raider/?

Re: Полу-офф-топик

[leblon.livejournal.com]

Многа букаф. Нет времени разбираться, что все это означает, на обычном математическом языке. Лучше бы Тао проделал эту работу за нас. Вообще непонятно, зачем все это написано. Неспециалист, в лучшем случае, получит иллюзию, что понимает QМ. А специалисту было бы понятнее без всяких аналогий. Если я правильно понял, Тао пробует объяснить QM в терминах классических скрытых переменных. Если это так, то тут нет ничего особенно нового. Но я не уверен, удалось ли ему это сделать. Например, важнейшее отличие QM - невозможность одновременного измерения некоторых наблюдаемых (вроде координаты и импульса). В каком-то смысле, это происходит максимальным образом. Где это в Tomb Raider Model? Про квантование вероятности тоже странно: ничего подобного в QM нет.

Re: Полу-офф-топик

[sowa.livejournal.com]

Спасибо! У меня было похожее впечатление, а разбираться мне тоже не захотелось - многа буков. Хотелось услышать мнение специалиста.

[ygam.livejournal.com]

Скотт Ааронсон нашел нечто интересное: "Nonlinear quantum mechanics implies polynomial-time solution for NP-complete and #P problems".

[leblon.livejournal.com]

Спасибо, это интересно. Я когда-то где-то читал про такую теорему (может, у самого Ааронсона?), но не знал, что в качестве модели нелинейной QМ они используют именно модель Вайнберга. У самого Вайнберга модель не доработана: он не говорит, например, какие возможные значения может иметь конкретная наблюдаемая, и как вычислить вероятность получения какого-то одного значения. Мне казалось, что без этого невозможно вообще придать модели какой-то физический смысл. Неужели авторам по Вашей ссылке удалось довести модель Вайнберга "до ума"? Обязательно посмотрю и сообщу результаты.