(no subject)

[leblon]

Купил любопытную книгу Дж. Макки "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics". Старая - 1963 г. Спасибо Dover Books, что переиздали. Там как раз много есть про логическую структуру QM. Буду читать.

Пролистывая книгу, заметил следующее интересное утверждение: статистический характер квантовой механики диктуется невозможностью одновременного измерения всех наблюдаемых в одной системе (из-за некоммутативности). Состояние системы определяется результатами всех возможных измерений, но невозможно измерить все, если в нашем распоряжении только одна система. Если же иметь много копий одной и той же системы, то у одной можно измерить импульс, у другой - координату, и т.д. Но много идентичных систем - это уже ансамбль. Именно про него и имеет смысл говорить в квантовой механике, а не про отдельную систему. Макки приписывает это соображение фон Нейману. Интересно, неужели статистическую интерпретацию можно вывести из некоммутативности наблюдаемых? Сомнительно что-то.

Кстати, оказывается Стивен наш Вайнберг придумал в 1989 нелинейный вариант QM. (Статья называется "Testing Quantum Mechanics".) Идея примерно следующая. Пусть V - гильбертово пространство нашей системы. Обычно наблюдаемой сопоставляется линейный оператор из V в V. Можно про него думать как квадратичную функцию на произведении V с V*. Предлагается рассматривать более общие функции как наблюдаемые. (Не совсем произвольные: там еще есть условие однородности, чтобы эти функции не менялись при домножении вектора состояния на число). Аналог собственного вектора - это критическая точка функции. Однако я пока не понял, какой аналог разложения по собственным векторам. Другими словами, согласно автору, для любой наблюдаемой ее среднее значение в каком-то состоянии дается просто значением соответствующей функции. Но вот как посчитать вероятность получения какого-то конкретного значения наблюдаемой - Вайнберг не говорит.

Comments

[leblon.livejournal.com]

Я еще тут нашел хорошую книгу, более современную, чем Макки:
D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic, Springer, 1989. Там подробно обсуждается понятие измерения, эксперимента, события, и минимальная система аксиом которым все это должно удовлетворять. Результат примерно как у Макки: операторы в гильбертовом пространстве удовлетворяют всем аксиомам, но неясно, какие еще неклассические реализации могут быть у этих аксиом.

Я думаю, и у Макки и у Коэна не хватает важных аксиом динамического характера, связанных с понятием непрерывной симметрии и генератора симметрии. А именно, нужно потребовать, чтобы наблюдамые образовывали алгебру Ли. Вполне возможно что "логические" и "динамические" аксиомы имеют более-менее единственую общую реализацию .

[sowa.livejournal.com]

А разве у Макки нет скобок Пуассона и гамильтонианов? По моим воспоминаниям, там эти вещи сначала объясняются для случая классической механики, и затем строятся соответствующие квантовые понятия. Про симметрии не помню, но неужели Макки, специалист по представлениям групп, ничего про них не сказал?

[leblon.livejournal.com]

Вы все правильно помните. Но, удивительным образом, структура алгебры Ли не упоминается при обсуждении аксиом квантовой механики. Только в самом конце главы про структуру QM указывается, что уравнения движения Гейзенберга аналогичны гамильтоновым, если считать коммутатор аналогом скобки Пуассона. Но это наблюдение не играет никакой роли в построении аксиоматики.

[leblon.livejournal.com]

Точнее: важнейшее отличие "квантовой логики" от классической в том, что не все наблюдамые можно измерить одновременно. Максимально возможный набор одновременно измеримых наблюдаемых, в обычной квантовой теории, - это тоже самое, что подалгебра Картана в алгебре Ли всех операторов. Очень естественно взять это за аксиому (есть хорошие физические причины). Я подозреваю, что тогда алгебра операторов в гильбертовом пространстве будет единственной структурой, удовлетворяющей всем аксиомам.

Пояснение: структура алгебры Ли на наблюдаемых в квантовой теории - это аналог симплектической структуры на фазовом пространстве в классической механике. Если уж мы принимаем "на веру", что в классическом пределе уравнения движения выводятся из функционала действия (это синоним симплектичности), то очень естественно в кавнтовой теории иемть структуру алгебры Ли на пространстве наблюдаемых.