(no subject)
Apr. 12th, 2007 09:34 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonКупил любопытную книгу Дж. Макки "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics". Старая - 1963 г. Спасибо Dover Books, что переиздали. Там как раз много есть про логическую структуру QM. Буду читать.
Пролистывая книгу, заметил следующее интересное утверждение: статистический характер квантовой механики диктуется невозможностью одновременного измерения всех наблюдаемых в одной системе (из-за некоммутативности). Состояние системы определяется результатами всех возможных измерений, но невозможно измерить все, если в нашем распоряжении только одна система. Если же иметь много копий одной и той же системы, то у одной можно измерить импульс, у другой - координату, и т.д. Но много идентичных систем - это уже ансамбль. Именно про него и имеет смысл говорить в квантовой механике, а не про отдельную систему. Макки приписывает это соображение фон Нейману. Интересно, неужели статистическую интерпретацию можно вывести из некоммутативности наблюдаемых? Сомнительно что-то.
Кстати, оказывается Стивен наш Вайнберг придумал в 1989 нелинейный вариант QM. (Статья называется "Testing Quantum Mechanics".) Идея примерно следующая. Пусть V - гильбертово пространство нашей системы. Обычно наблюдаемой сопоставляется линейный оператор из V в V. Можно про него думать как квадратичную функцию на произведении V с V*. Предлагается рассматривать более общие функции как наблюдаемые. (Не совсем произвольные: там еще есть условие однородности, чтобы эти функции не менялись при домножении вектора состояния на число). Аналог собственного вектора - это критическая точка функции. Однако я пока не понял, какой аналог разложения по собственным векторам. Другими словами, согласно автору, для любой наблюдаемой ее среднее значение в каком-то состоянии дается просто значением соответствующей функции. Но вот как посчитать вероятность получения какого-то конкретного значения наблюдаемой - Вайнберг не говорит.
Пролистывая книгу, заметил следующее интересное утверждение: статистический характер квантовой механики диктуется невозможностью одновременного измерения всех наблюдаемых в одной системе (из-за некоммутативности). Состояние системы определяется результатами всех возможных измерений, но невозможно измерить все, если в нашем распоряжении только одна система. Если же иметь много копий одной и той же системы, то у одной можно измерить импульс, у другой - координату, и т.д. Но много идентичных систем - это уже ансамбль. Именно про него и имеет смысл говорить в квантовой механике, а не про отдельную систему. Макки приписывает это соображение фон Нейману. Интересно, неужели статистическую интерпретацию можно вывести из некоммутативности наблюдаемых? Сомнительно что-то.
Кстати, оказывается Стивен наш Вайнберг придумал в 1989 нелинейный вариант QM. (Статья называется "Testing Quantum Mechanics".) Идея примерно следующая. Пусть V - гильбертово пространство нашей системы. Обычно наблюдаемой сопоставляется линейный оператор из V в V. Можно про него думать как квадратичную функцию на произведении V с V*. Предлагается рассматривать более общие функции как наблюдаемые. (Не совсем произвольные: там еще есть условие однородности, чтобы эти функции не менялись при домножении вектора состояния на число). Аналог собственного вектора - это критическая точка функции. Однако я пока не понял, какой аналог разложения по собственным векторам. Другими словами, согласно автору, для любой наблюдаемой ее среднее значение в каком-то состоянии дается просто значением соответствующей функции. Но вот как посчитать вероятность получения какого-то конкретного значения наблюдаемой - Вайнберг не говорит.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2007-04-12 06:50 pm (UTC)Макки про это мало очень пишет, всего один абзац. Говорит, что про это подробно написано у фон Неймана, но не говорит, где.
"Точнее было бы сказать, что из борновской статистической интерпретации волновой функции (шире, фон-неймановской интерпретации оператора плотности) вместе с некоммутативностью можно вывести квантовую статистику, разве нет?"
А что Вы имеете в виду под квантовой статистикой?
Мне бы как раз хотелось понять, откуда берется борновская интерпретация волновой функции. Т.е. до какой степени математический аппарат QM (наблюдаемые как операторы в гильбертовом пространстве) ограничивает возможные интерпретации. И что будет, если как-то "продеформировать" матаппарат. Фон Нейман, которому матаппарат QM тоже не нравился, пытался заменить алгебру операторов в гильбертовом пространстве на другую ассоциативную алгебру. (Отсюда и пошла теория алгебр фон Неймана.) Мне кажется, что наличие ассоциативного умножения физически ничем не мотивировано. А вот у Вайнберга наблюдаемые образуют неассоциативную алгебру, но так, что антикоммутатор удовлетворяет тождеству Якоби, т.е. имеем структуру алгебры Ли. Поэтому уравнения Гейзенберга имеют такой же вид, как и в обычной QM. Но отсутствие ассоциативности приводит к проблемам со статистической интерпретацией вайнберговского формализма. Внимание, вопрос: насколько эти проблемы преодолимы, и какие ограничения на матаппарат QM накладывает существование разумной интерпретации (теории измерений)?
(no subject)
Date: 2007-04-12 07:09 pm (UTC)Скорее всего, в "Математических основаниях квантовой механики".
А что Вы имеете в виду под квантовой статистикой?
Это я неточно выразился -- речь шла как раз о борновской интерпретации, а не о бозонах с фермионами, как могло показаться.
Если мне не изменяет память, алгебрами фон Неймана (они же W*-алгебры) в основном пользуются в КТП (Рудольф Хааг, например), а в "обычной" КМ (с конечным числом степеней свободы) все сводится к C*-алгебрам, то есть, по теореме ГНС, к операторам над гильбертовым пространством. Но даже и в случае алгебр фон Неймана я не помню никаких попыток вывести статистическую интерпретацию из матаппарата, она всегда задавалась на уровне аксиоматики (наблюдаемые образуют алгебру фон Неймана, а состояния над этой алгеброй интерпретируются как матожидания). С другой стороны, попытки вывести матаппарат КМ из некоторых первичных предпосылок относительно экспериментов и измерений мне встречались, вот например http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603011.