(no subject)

[leblon]

Оказывается, функция 1/cosh x переходит сама в себя при преобразовании Фурье (с точонстью до рескейлинга аргумента). Забавно. Я ранее знал такой факт: быстроубывающая функция переходит сама в себя при преобразовании Фурье тогда и только тогда, когда при разложении ее в ряд по айгенфункциям гамильтониана гармонического осциллятора присутствуют только члены с номерами, кратными 4. (Гамильтониан гармонического осциллятора - это оператор -d^2/dx^2+x^2). Мне совершенно неясно, почему разложение функции 1/cosh x имеет такое свойство. Интересно, это свойство где-то играет роль?

Comments

[ygam.livejournal.com]

Я почему-то был уверен, что сама в себя переходит только exp(-x²); не помню, откуда у меня была такая уверенность.

[leblon.livejournal.com]

Я сам так почему-то думал 10 лет назад. А 10 лет назад сообразил, что преобразование Фурье в степени 4 - это тождественное преобразование, а значит все пространство волновых функций разбивается на 4 подпространства с собственными значениями 1, -1, i, -i. При этом n-я волновая функция гармонического осциллятора лежит в подпространстве с собственным значением i в степени n.

[xgrbml.livejournal.com]

Я как-то второкурсникам в НМУ дал задачку: все ли эти четыре собственные значения реализуются? Сильные сделали.

[kaledin-corpse.livejournal.com]

No kvadrat zhe ochevidno ne tozhdestvennyj???

[xgrbml.livejournal.com]

Ну да, а что в этом такого?

[kaledin-corpse.livejournal.com]

Nu nichego osobo; no po krajnej mere ochevidno, chto est' sobstvennoe znachenie i ili -i.

[roma.livejournal.com]

я дико извиняюсь, кто такие волновые функции гармонического осциллятора?

[kaledin-corpse.livejournal.com]

Eigenvector s n-m eigenvalue. Nu ty i tormoz.

[kaledin-corpse.livejournal.com]

V smysle, eigenvector togo operatora, kotoryj opisyvaet garmonicheskij oscillator. Laplassian plyus x^2. Ili minus, ne pomnyu.

[leblon.livejournal.com]

Я ж в тексте поста написал, кто это такие, и оператор написал.

[kaledin-corpse.livejournal.com]

Nu vidish', ya eshche bol'shij tormoz. Spat' nado bol'she...