(no subject)

[leblon]

(У меня, кажется, дежа вю, ну да ладно.) Для моноидальной категории C есть понятие центра Дринфельда (это такая сплетенная моноидальная категория D, объекты которой, грубо говоря, - это объекты C, коммутирующие со всеми объекстами C). Моноидальная категория - это 2-категория с одним объектом. Можно придумать аналог центра Дринфельда для любой 2-категории. Этот конструкт имеет какое-то общепринятое название?

Comments

[sasha-br.livejournal.com]

А как это определяется и где оно появляется у тебя (и какая структура на этом дубле будет иметься)?

[leblon.livejournal.com]

Как-то так: пусть C - 2-категория. Обьект категории D - это выбор обьекта d(a) категории Hom(a,a) для каждого a из Ob(C), плюс для каждой пары a,b из Ob(C) и для каждого обьекта u(ab) категории Hom(a,b) надо задать изоморфизм d(a) \otimes u(ab) и u(ab)\otimes d(b). Определение морфизмов оставляю в качестве упражнения для читателя. Структуру на D ожидаю сплетенную моноидальную.

А появляется это все в 3-мерной TFT. Именно, если C - это 2-категория сопоставляемая точке, а F - это категория сопоставляемая окружности, то из F есть естественный функтор в "центр Дринфельда" 2-категории C. А в хороших ситуациях, F и должно быть "центром Дринфельда" 2-категории C.

[sasha-br.livejournal.com]

А, я понял о чём речь идёт. Я бы просто сказал "центр 2-категории".

[sea-hog.livejournal.com]

ну вроде бы это надо называть "эндоморфизмы тождественного функтора"

[leblon.livejournal.com]

А, так можно, да. Только надо, наверное, говорит "тождественного эндо-2-функтора"? Или "тождественного 2-эндофунктора"?

[sea-hog.livejournal.com]

двойка конечно нужна. Может быть "2-эндоморфизмы тождественного 2-функтора"?

[hippie57.livejournal.com]

To do this properly, you have to consider Hochshild cohomology, not only the degree 0 part. Same about higher categorical stuff. I wouldn't believe in any construction of a higher categorical center producing the zero part of the answer and skipping the rest. I wonder what this intuition says for a plain monoidal category -- there should be higher Drinfeld center components. Do they vanish?

[kaledin-corpse.livejournal.com]

Depends. Here's the correct generalization: you takes the categories Fun(C^{\otimes n},C) (let's ignore the issue of what's a tensor product of abelian categories), put them into a cosimplicial category -- that is, a category cofibered over \Delta -- and take the category of global sections of the cofibration. This is an abelian category. The full subcategory spanned by cartesian sections is precisely the Drinfeld double. The trick is, you consider *all* sections, take the derived category, and only then you consider the full subcategory spanned by Cartesian sections. If you do it properly, you can derive a 124th proof of Deligne conjecture from this; I have been meaning to write this stuff down for several years already, but never got around to actually doing it.

An interesting case is when C is the category of endofunctors of some k-linear abelian B, k a field. Then the result of this procedure is just trivial! -- the dervied category of k-vector spaces. Sort like a higher version of the fact that a matrix algebra has no Hochschild cohomology.