Эквивариантные когомологии пространства являются модулем над эквивариантными когомологиями точки. Есть ли какой-нибудь простой признак, по которому можно определить, что этот модуль свободный?
Аналогичный, вроде бы, вопрос: есть ли какой-нибудь признак, по которому можно определить, что целочисленные когомологии пространства являются свободными абелевыми группами?
Если замысел в том, чтобы научиться проверять такие свойства когомологий, нисколько при этом не приближаясь к собственно вычислению когомологий, то у меня нет идей, как бы это можно было делать.
Вернее сказать, есть одна идея: если действие группы гомотопически тривиально (пространство с действием группы гомотопически эквивалентно какому-нибудь пространству с тривиальным действием той же группы), то эквивариантные когомологии с коэффициентами в поле -- свободный модуль над эквивариантными когомологиями точки.
Если замысел не в этом, то достаточно было бы построить фильтрацию на когомологиях, присоединенный фактор к которой является свободным модулем. Для этого достаточно построить вырождающуюся спектральную последовательность, сходящуюся к искомым когомологиям, начинающуюся со свободного модуля.
Т.е. чуть более возвышенный вариант утверждения, что когомологии пространства, разбитого на четномерные клетки, являются (при очевидных условиях конечности) свободными абелевыми группами.
Мне надо посчитать эквивариантные когомологии некоего многообразия. Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия. Неподвижная часть у меня очень простая. Теперь остается выяснить, есть ли там вообще кручение.
Само утверждение сомнительно, в то же время. Пусть G -- компактная группа Ли, T -- ее максимальный тор, X=G/T -- интересующее нас многообразие с действием G. Тогда неподвижная часть X пуста, если G не совпадает с T. А эквивариантные когомологии X как G-многообразия равны эквивариантным когомологиям точки как T-многообразия, то есть когомологиям BT. Последние не являются модулем кручения над когомологиями BG (не помню, являются ли они свободным модулем). Например, если G=U(n), n>1, то когомологии BT есть кольцо многочленов от n переменных x_1,...,x_n, живущих в градуировке 2. А когомологии BG есть подкольцо симметрических многочленов от x_1,...,x_n.
Я где-то видел утверждение, что с точностью до модулей кручения эквивариантные когомологии равны тензорному произведению когомологий точки на обычные когомологии неподвижной части многообразия.
Это верно, для эквивариантных когомологий относительно тора. Называется теорема локализации (она очень внятно и коротко изложена в статье Атьи и Ботта "The moment map and equivariant cohomology"). Для неабелевой группы все сложнее и, на сколько я знаю, общих утверждений такого рода нет.
Это как? Мне казалось, что в общем случае когомологии вообще не произведение по модулю кручения. Эквивариантные когомологии группы, это инварианты в когомологиях относительно тора. Но неподвижные точки относительно тора не равны неподвижным точкам относительно группы. Можно пробовать выразить все через когомологии неподвижных точек тора и того как на них действует группа Вейля. Но мне казалось, что если ничего не предполагать про это действие, то никаких общих утверждений сделать нельзя.
Sorry, ja nevnimatel'no prochital vopros. Obychno ispol'zuetsja, chto esli vzjat' element s v gruppe i (skazhem) popolnit' po sootv. harakteru ekv-h kogomologij tochki, to rezul'tat opisyvaetsja cherez nepodvizhnye tochki etogo elementa. Eto, razumeetsja, svoditsja k sluchaju kogda gruppa -- tor.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
Если замысел в том, чтобы научиться проверять такие свойства когомологий, нисколько при этом не приближаясь к собственно вычислению когомологий, то у меня нет идей, как бы это можно было делать.
Вернее сказать, есть одна идея: если действие группы гомотопически тривиально (пространство с действием группы гомотопически эквивалентно какому-нибудь пространству с тривиальным действием той же группы), то эквивариантные когомологии с коэффициентами в поле -- свободный модуль над эквивариантными когомологиями точки.
Если замысел не в этом, то достаточно было бы построить фильтрацию на когомологиях, присоединенный фактор к которой является свободным модулем. Для этого достаточно построить вырождающуюся спектральную последовательность, сходящуюся к искомым когомологиям, начинающуюся со свободного модуля.
Т.е. чуть более возвышенный вариант утверждения, что когомологии пространства, разбитого на четномерные клетки, являются (при очевидных условиях конечности) свободными абелевыми группами.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
Это верно, для эквивариантных когомологий относительно тора. Называется теорема локализации (она очень внятно и коротко изложена в статье Атьи и Ботта "The moment map and equivariant cohomology"). Для неабелевой группы все сложнее и, на сколько я знаю, общих утверждений такого рода нет.
no subject
no subject
no subject
no subject