(no subject)

[leblon]

 Сегодня в качалке задумался, а что будет, если взять действие Гильберта Эйнштейна, где метрика и связность независимые переменные, и отинтегрировать метрику? Это можно сделать если у нас ненулевая космологическая постоянная, или если есть материя. Решив алгебраические уравнения для метрики и подставив решение обратно, получим действие, где метрики вообще нет, а есть только связность на касательном расслоении (ну, и материальные поля, если они есть). Полученное действие будет сингулярным если устремить космологическую постоянную к нулю. Интересно, правда?

Пришел домой, посмотрел литературу. Оказывается, в случае, когда материи нет, но есть космологическая постоянная, такое описание ОТО придумал А. Эддингтон, в 1924 году. Сравнительно недавно вариант с материей тоже изучался. На классическом уровне, теория эквивалентна ОТО, конечно, но что то есть странное в формулировке, в которой нет метрики. И к тому же эта формулировка требует либо наличия материи, либо наличия энергии вакуума. Похоже на принцип Маха. 

Comments

[chaource]

I remember from some discussions with Garrett Lisi a long time ago, that there was also an action for GR that is formulated purely in terms of a spin connection. While I couldn't follow Lisi's particle theory, the gravitational part was amusing, and your comment reminded me of this.

The formulation is discussed in A. G. Lisi's preprint https://arxiv.org/pdf/0711.0770.pdf on
page 25.

"The modified BF action for gravity was discovered by MacDowell and Mansouri in 1977,
[16] and revived by Smolin, Starodubtsev, and Freidel during their work on loop quantum
gravity.[17, 18] The remarkable and surprising fact that gravity, described by the spin connection,
ω, and frame, e, can be described purely in terms of a unified connection, ω + e, was
the seed idea that led to the unification of all fields in a single connection.[2]"


[16] S.W. MacDowell and F. Mansouri, “Unified Geometric Theory of Gravity and Supergravity,” Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 739.
[17] L. Smolin and A. Starodubtsev, “General relativity with a topological phase: An Action principle,” hep-th/0311163.
[18] L. Freidel and A. Starodubtsev, “Quantum gravity in terms of topological observables,” hep-th/0501191.

[leblon]

I think the MacDowell-Mansouri formulation is a bit different, since both the vierbein and connection are regarded as independent variables. Also, it only works in 4d, while Eddington's formulation applies in arbitrary dimension. However, I notice that the McD-M action has the form of a Pfaffian of the cuvature tensor, which is a square root of determinant. Perhaps there is a way to generalize it to arbitrary dimension too, and then the relation with Eddington's version would become clearer.

[clovis3]

E. Witten, “(2+1)-Dimensional Gravity as an Exactly Soluble System,” Nucl. Phys.
B311 (1988) 46