От Кулона до Эйнштейна

[leblon]

 Навеяно постом http://ygam.dreamwidth.org/23635.html про Специальную Теорию Относительности. 

Малоизвестный неспециалистам факт: из уравнений Максвелла можно вывести принцип относительности Эйнштейна и большую часть СТО. А именно, можно исследовать, чисто математически, симметрию этих уравнений и открыть, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца, но не преобразований Галилея.

Поскольку законы электромагнетизма открывались постепенно, интересно разобраться, в какой момент наука об электромагнетизме стала явно противоречить принципу Галилея и ньютоновской механике. (Хотя никто этого не замечал довольно долго, до 80х годов 19го века, как минимум). 

Основные реперные точки: закон Кулона (1774), закон Био-Савара-Ампера (1820-1825),  закон Фарадея (1831), уравнения Максвелла (1861-1862), открытие СТО (1904-1905). 

С законом Кулона все понятно: заряды создают электрическое поле (в 18м веке, конечно, про поля не знали, но можно сказать, что заряды действуют электрическими силами на другие заряды) . Закон Био-Савара-Ампера говорит нам, что токи создают магнитное поле (или магнитные силы действующие на другие токи). В этот момент (1825) следовало задуматься: а ведь если заряд передвинулся из одного места в другое, то с одной стороны потек ток, а с другой стороны электрическое поле (ну, или электрические силы) должны меняться во времени (по закону Кулона). Значит, токи могут создавать электрическое поле. На самом деле, это заметил только Максвелл (т.н. "ток смещения"), и то каким-то странным способом. Ну, ладно. В этот момент (1825) мы могли бы написать такие уравнения: закон Кулона, или лучше закон Гаусса для электрического поля, закон Гаусса для магнитного поля, закон Био-Савара-Ампера для магнитного поля. Все это прекрасно согласуется с принципом относительности Галилея. Более того, если потребовать, чтобы вышеназванные уравнения удовлетворяли этому принципу, то автоматически получается, что ротор электрического поля должен быть равен нулю.Т.е. что работа электрической силы по любому замкнутому контуру равна нулю. Эти уравнения описывают "нерелятивистский предел" уравнений Максвелла и не содержат скорости света. Они также не предсказывают никаких электромагнитных волн, а только мгновенно действующие силы (магнитные и электрические) между зарядами. Вполне в духе Ньютона. Никакой симметрии между электрическими и магнитными полями в этих уравнениях, кстати, нет. 

Но тут приходит Фарадей и открывает закон индукции. Который говорит, что если магнитное поле меняется во времени, то работа электрических сил по контуру не равна нулю. Это атас, потому что это противоречит принципу Галилея. В этот момент, кто-нибудь крутой мог бы открыть СТО. В реальности, спустя 30 лет после Фарадея пришел Максвелл, который открыл свои уравнения, но не догадался проанализировать их на предмет согласования с принципом относительности. А нерелятивистский предел уравнений Максвелла был открыт только во второй половине 20го века, когда он уже никому был не нужен. Хотя, возможно, следовало бы преподавать его студентам. 

Comments

[juan_gandhi]

Я вот Фарадея как-то еще понимаю, ну опыты, катушки. Но как Максвелл навалял свои прекрасные уравнения, это выходит за пределы моего понимания совершенно.

[leblon]

Там у него были какие-то дикие механические и гидродинамические аналогии. Нам этого не понять.

[alexanderr]

у него дипломная работа была про кольца Сатурна. в то время в телескопе они выглядели как однородные твердые куски, и народ переживал. ну, и Максвелл доказал, что они состоят из отдельных камней. рассчитал напряжения, которые были бы в твердом теле и там получились такие цифры, что ни один материал не выдержит.

[juan_gandhi]

Вот мыслители были. (До меня долго доходило, что за напряжения.)

[alexanderr]

на самом деле еще проще. это аргумент, который приводил Эйнштейн. парадокс появился сразу как только появились волны, а их уже изучал Герц. точнее, их сразу вывели из уравнений Максвелла, сам Максвелл кажется их и вывел. но народ сомневался, и Герц их экспериментально доказал. он видел максимумы/минимумы и все дела. да, так про волны Эйнштейн предлагал побежать рядом с волной, с той же скоростью и увидеть статическое поле без зарядов и токов. более наглядное противоречие трудно придумать. т.е. Максвелл всполне мог бы осознать, что открытые им волны и уравнения противоречат принципу Галлилея

[leblon]

Не думаю, что это так просто. Волны бывают разные. Волны на воде, например, прекрасно согласуются с принципом Галилея. Просто они выглядят по разному в разных системах отсчета. А вот с уравнениями Максвелла это не работает. Дело именно в детальной структуре уравнений.

[alexanderr]

детальная структура состоит в том, что без зарядов и токов статического поля не может быть. Максвелл это знал

[leblon]

Как же не может, когда может быть постоянное электрическое и магнитное поле в вакууме?

[alexanderr]

ну я же там ясно написал написал "без зарядов и токов", что не так? волна улетела достаточно далеко от всего, мы ее догнали и увидели стационарное поле. при этом ни на каком интересном расстоянии нет ни зарядов, ни токов. еще раз, это не придумал, это аргумент Эйнштейна

[leblon]

Вы сказали, что без зарядов и токов не может быть стационарного поля. Я Вам ответил: постоянное (во времени и пространстве) электромагнитное поле не требует источников, значит, Ваше утверждение неверно.

[alexanderr]

ну тогда пожалуйста приведите нетривиальный пример решения следующей системы уравнений: rotE=0, divE=0, divH=0, rotH=0 здесь 0 это 0, а не дельта функция и граничные условия у нас тоже простые, на бесконечности все равно 0. летит плоская волна, в космосе, бесконечно далеко от всего, я ее догнал и увидел нетривиальное решение приведенной системы.

[type2b.livejournal.com]

А в чем разница? Для электромагнетизма тоже можно подумать, что галилеевская инвариантность нарушена существованием светоносной среды, а лоренцева симметрия случайна. (Кстати, есть ли концептуальное объянение, почему лоренцевская инвариантность возникает для звука?)

[leblon]

Сказать-то так можно, а вот придумать другие уравнения, инвариантные относительно галилеевых преобразований, из которых уравнения Максвелла следуют в каком нибудь пределе, непросто.

Для акустических волн "лоренцева" симметрия появляется только в пределе слабых волн. А фундаментальные уравнения гидродинамики инвариантны относительно Галилея, а не Лоренца. Конечно, это возможно только потому, что звуковые волны не исчерпывают всех возможных движений жидкости: есть еще и несжимаемые течения. Когда мы пытаемся все это описать, выясняется, что "лоренцева" симметрия исчезает. В случае с электромагнетизмом это не так: все, что у нас есть это электрическое и магнитное поля. Максимум что можно сделать это добавить всякие нелинейные члены в уравнения. Но галилееву симметрию так не восстановить: для этого нужно добавить новые степени свободы.

[type2b.livejournal.com]

Действительно, вряд ли возможно получить уравнения Максвелла как предел или подсектор какой-то теории с галилеевой инвариантностью. Но мне кажется, обычно люди имеют в виду в голове другой сценарий, когда фундаментальная галилеева инвариантность нарушена спонтанно. Скажем, есть нерелятивистская теория, в ней вакуум в виде кристаллической решетки, и в ней "фононы" с уравнениями Максвелла. Конечно, совсем неясно, как такую теорию написать.
Лучше всего, наверное, любые теории с emergent Lorentz symmetry убивать аргументом про то, что there are relevant Lorentz violating operators.

[chaource]

Законъ Кулона открытъ въ 1785 г., но было много предшественниковъ. https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law

Это вообще сегодня трудно представить, какое было тогда время. Моцартъ былъ въ этотъ моментъ живъ, а Бетховену было 15 лѣтъ. Тотъ фактъ, что не замѣтили ненулевую циркуляцiю по замкнутому контуру, я объясняю тѣмъ, что было слишкомъ мало физиковъ, интенсивно занимавшихся чистой теорiей и ничѣмъ больше. Въ тѣ времена у физиковъ еще не было четкаго пониманiя даже такихъ вещей, какъ линейное пространство или тензоръ, не говоря уже о сходимости рядовъ. Поэтому не было достаточной математической культуры и просто свободнаго времени, чтобы брать каждую новую физическую теорiю и доводить ее до блеска - упрощать уравненiя и обозначенiя, выводить наиболѣе общiя формулировки, разсматривать предѣлы при большихъ и малыхъ параметрахъ и т.д. Люди просто тупо вычисляли мѣсяцами подрядъ, это называлось тогда теорфизикой.

Уравненiя Максвелла были имъ предложены въ такомъ видѣ, что этого просто почти никто не могъ понять - всѣ эти шестеренки и гидравлика была выписана явно въ компонентахъ, но при отсутствiи понятiя векторнаго пространства или тензоровъ. Только позже Герцъ и еще позже Диракъ привели ихъ къ современному векторно-тензорному виду.

Въ одномъ изъ романовъ Алданова была сцена, когда въ 1910-е годы профессоръ физики (въ Россiи) пытается объяснить наиболѣе продвинутымъ студентамъ на спецкурсѣ уравненiя Максвелла, и по глазамъ видитъ, что послѣ 3-хъ часовъ лекцiи никто ничего по существу не понялъ.

[leblon]

Другое объяснение состоит в том, что понятие симметрии не было тогда центральным в физике. Его важность была осознана только после появления СТО. А в 19м веке задача вычисления группы симметрий физических уравнений просто никому не приходила в голову.

... как моя жена потом

[clovis3]

Ygam говорит, что негалилеевость видна ещё из комбинации закона биосавара и силы Лоренца. Но это связано и с Фарадеем через "вращательного Галилея": в школьном курсе объясняется, что ЭДС в контуре, вращающемся в постоянном магнитном поле, можно объяснить как законом Фарадея (переменный поток в системе отсчёта контура), так и силой Лоренца (в системе отсчёта, где контур вращается).

Re: ... как моя жена потом

[leblon]

"Ygam говорит, что негалилеевость видна ещё из комбинации закона биосавара и силы Лоренца." Так я вроде объяснил почему это не может быть правильным: существует "нерелятивистская" теория электромагнетизма, в которой есть биосавар и сила Лоренца, но нет фарадеевской индукции. Просто берем обычные уравнения Максвелла и вычеркиваем член с индукцией, так что теперь одно из уравнений просто говорит curl E=0. Теория эта прекрасным образом инвариантна относительно преобразований Галилея.

Что касается "вращательного Галилея", то это нечестный аргумент: вращающаяся система отсчета неинерциальна, и уравнения Максвелла в ней выглядят по-другому, чем в инерциальной.

А всё-таки она вертится?

[clovis3]

Я потому и поставил кавычки, что преобразования Галилея обычно относят к прямолинейному движению. Но тем не менее, как Вы согласуете наличие лоренцевской ЭДС во вращающемся контуре и отсутствие ЭДС в системе покоя контура? Получается, что есть способ измерить угловую скорость вращения помимо сил инерции.

Re: А всё-таки она вертится?

[leblon]

"Получается, что есть способ измерить угловую скорость вращения помимо сил инерции."

Да, и что?

[affidavid]

Из другого закона Фарадея стопроцентно следует существование электрона, а вот тоже в свое время не догадались. Из той же оперы квантуемость энергии исходя из работ Больцмана.