Тайны LIGO, часть 1
Feb. 27th, 2016 08:39 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonКак известно, чтобы обнаружить гравитационные волны, LIGO должен измерить расстояние в 4 км с точностью 10^{-18} метра. Звучит совершенно фантастически, как такое может быть? Ведь 10^{-18} м - это в 1000 раз меньше размера протона и в 100 миллионов раз меньше размера атома.
Я в LIGO совершенно не специалист, но пробую разобраться, в свободное от основной работы время. Например, некоторые несознательные товарищи спрашивают, неужели тепловые флуктуации зеркал LIGO не помешают добиться такой точности? Казалось бы, нетрудно оценить величину таких флуктуаций. Масса одного зеркала примерно 10 кг, длина подвески порядка 1 м, температура комнатная (300 К). Энергия тепловых флуктуаций порядка kT, где k - постоянная Больцмана. Приравнивая ее средней потециальной энергии маятника, легко получаем, что среднеквадратичное отклонение зеркала чуть меньше 10^{-10} м. А мы хотели отклонение в 10^{-18} м измерить. Как же так?
Первое замечание такое: абсолютное положение зеркала нам неважно. Нам важно, чтобы его положение не менялось больше чем на 10^{-18} м за время наблюдения (примерно 0.1 сек). Поэтому наивная оценка 10^{-10} м не имеет отношения к делу.
Хорошо, давайте тогда так: каково среднеквадратичное расстояние между двумя положениями зеркала, разделенными временным интервалом t? Для простоты, давайте сначала забудем про то, что зеркало подвешено, и будем рассматривать его просто как тяжелый предмет, совершающий броуновское движение, оно же случайное блуждание. Как известно, на больших временных интервалах расстояние от исходной точки пропорционально квадратному корню из времени. Типичная диффузия. Коэффициент диффузии прямо пропорционален температуре и обратно пропорционален коэффициенту трения, это так называемая формула Эйнштейна-Смолуховского. Казалось бы, надо стараться сделать трение побольше, чтобы коэффициент диффузии был поменьше. На самом деле, в LIGO стараются трение сделать как можно меньше (об этом ниже). Характерное время затухания колебаний зеркала маятника больше 10 лет! Если посчитать, то коэффициент диффузии порядка 10^{-14} м^2/сек. Значит за время 0.1 сек зеркало убежит на 10^{-7} м, т.е. во много раз дальше, чем говорит нам наивная оценка. Да даже за один период ожидаемых гравитационных волн (порядка 10^{-2} сек) зеркало сдвинется на расстояние порядка 10^{-8} м, что на 10 порядков хуже, чем нам надо.
Но постойте, диффузионное поведение получается только на больших временах, когда первоначальное направление скорости броуновской частицы давно забыто. Большое по сравнению с чем? По сравнению с тем самым временем затухания, оно же время релаксации, которое 10 лет. Поэтому эта диффузионная оценка опять не имеет отношения к делу. (Да и вообще, уже на расстояниях порядка 10^{-10} м нам придется вспомнить, что мы имеем дело не со свободной частицей, а с маятником). На малых же временах броуновская частица летит себе по баллистической траектории, со скоростью v. Эту скорость можно оценить приравняв кинетическую энергию зеркала к kT, получается порядка 10^{-11} м/сек. Значит, за 0.1 секунду зеркало улетит примерно на 10^{-12} м. Лучше, чем наивная оценка, но все равно далеко от желанного.
Что же делать? Насколько я понял, надо использовать тот факт, что тепловой шум размазан по всем частотам, а гравитационные волны мы хотим наблюдать в узком интервале частот около 100 Гц. Собственно, броуновский шум сконцентрирован около нулевой частоты, ширина пика обратно пропорциональна времени затухания. Если время затухания очень велико, то пик сконцентрирован в очень малом интервале частот, а вне его шум очень быстро убывает. На самом деле мы имеем дело не со свободной частицей, а с маятником. У него есть колебательная мода, и флуктуации сконцентрированы около собственной частоты этой моды, порядка 1 Гц. Другие моды, с более высокими частотами, тоже есть (например, упругие волны в подвеске зеркала). Тепловой шум сконцентрирован вблизи этих специальных частот. Если мы сделаем так, что все эти частоты либо существенно ниже, либо существенно выше, чем 100 Гц, то зеркало можно рассматривать как броуновскую частицу.
Спектральная плотность шума на частотах, отличных от специальных частот, прямо пропорциональна коэффициенту трения. Нетрудно понять, почему. С одной стороны, среднеквадратичное отклонение, усредненное по всем частотам, не зависит от трения (и дается той самой наивной оценкой, с которой мы начали). С другой стороны, шум сконцентрирован в узком интервале частот, ширина которого пропорциональна трению. Значит, чем меньше трение, тем меньше шума придется на любую фиксированную полосу частот вдали от собственных частот. В LIGO трение стараются сделать поменьше как раз поэтому.
В общем, если отфильтровать все частоты, кроме полосы в районе 100 Гц, то мощность шума уменьшается на фактор порядка отношения периода гравитационных волн (0.01 сек) и времени затухания маятника (10^8 сек). В результате среднеквадратичная тепловая флуктуация опускается до нужного уровня. Как фильтрование реализовано технически я не уверен. По-моему, делается цифровая обработка сигнала в реальном времени.
Я в LIGO совершенно не специалист, но пробую разобраться, в свободное от основной работы время. Например, некоторые несознательные товарищи спрашивают, неужели тепловые флуктуации зеркал LIGO не помешают добиться такой точности? Казалось бы, нетрудно оценить величину таких флуктуаций. Масса одного зеркала примерно 10 кг, длина подвески порядка 1 м, температура комнатная (300 К). Энергия тепловых флуктуаций порядка kT, где k - постоянная Больцмана. Приравнивая ее средней потециальной энергии маятника, легко получаем, что среднеквадратичное отклонение зеркала чуть меньше 10^{-10} м. А мы хотели отклонение в 10^{-18} м измерить. Как же так?
Первое замечание такое: абсолютное положение зеркала нам неважно. Нам важно, чтобы его положение не менялось больше чем на 10^{-18} м за время наблюдения (примерно 0.1 сек). Поэтому наивная оценка 10^{-10} м не имеет отношения к делу.
Хорошо, давайте тогда так: каково среднеквадратичное расстояние между двумя положениями зеркала, разделенными временным интервалом t? Для простоты, давайте сначала забудем про то, что зеркало подвешено, и будем рассматривать его просто как тяжелый предмет, совершающий броуновское движение, оно же случайное блуждание. Как известно, на больших временных интервалах расстояние от исходной точки пропорционально квадратному корню из времени. Типичная диффузия. Коэффициент диффузии прямо пропорционален температуре и обратно пропорционален коэффициенту трения, это так называемая формула Эйнштейна-Смолуховского. Казалось бы, надо стараться сделать трение побольше, чтобы коэффициент диффузии был поменьше. На самом деле, в LIGO стараются трение сделать как можно меньше (об этом ниже). Характерное время затухания колебаний зеркала маятника больше 10 лет! Если посчитать, то коэффициент диффузии порядка 10^{-14} м^2/сек. Значит за время 0.1 сек зеркало убежит на 10^{-7} м, т.е. во много раз дальше, чем говорит нам наивная оценка. Да даже за один период ожидаемых гравитационных волн (порядка 10^{-2} сек) зеркало сдвинется на расстояние порядка 10^{-8} м, что на 10 порядков хуже, чем нам надо.
Но постойте, диффузионное поведение получается только на больших временах, когда первоначальное направление скорости броуновской частицы давно забыто. Большое по сравнению с чем? По сравнению с тем самым временем затухания, оно же время релаксации, которое 10 лет. Поэтому эта диффузионная оценка опять не имеет отношения к делу. (Да и вообще, уже на расстояниях порядка 10^{-10} м нам придется вспомнить, что мы имеем дело не со свободной частицей, а с маятником). На малых же временах броуновская частица летит себе по баллистической траектории, со скоростью v. Эту скорость можно оценить приравняв кинетическую энергию зеркала к kT, получается порядка 10^{-11} м/сек. Значит, за 0.1 секунду зеркало улетит примерно на 10^{-12} м. Лучше, чем наивная оценка, но все равно далеко от желанного.
Что же делать? Насколько я понял, надо использовать тот факт, что тепловой шум размазан по всем частотам, а гравитационные волны мы хотим наблюдать в узком интервале частот около 100 Гц. Собственно, броуновский шум сконцентрирован около нулевой частоты, ширина пика обратно пропорциональна времени затухания. Если время затухания очень велико, то пик сконцентрирован в очень малом интервале частот, а вне его шум очень быстро убывает. На самом деле мы имеем дело не со свободной частицей, а с маятником. У него есть колебательная мода, и флуктуации сконцентрированы около собственной частоты этой моды, порядка 1 Гц. Другие моды, с более высокими частотами, тоже есть (например, упругие волны в подвеске зеркала). Тепловой шум сконцентрирован вблизи этих специальных частот. Если мы сделаем так, что все эти частоты либо существенно ниже, либо существенно выше, чем 100 Гц, то зеркало можно рассматривать как броуновскую частицу.
Спектральная плотность шума на частотах, отличных от специальных частот, прямо пропорциональна коэффициенту трения. Нетрудно понять, почему. С одной стороны, среднеквадратичное отклонение, усредненное по всем частотам, не зависит от трения (и дается той самой наивной оценкой, с которой мы начали). С другой стороны, шум сконцентрирован в узком интервале частот, ширина которого пропорциональна трению. Значит, чем меньше трение, тем меньше шума придется на любую фиксированную полосу частот вдали от собственных частот. В LIGO трение стараются сделать поменьше как раз поэтому.
В общем, если отфильтровать все частоты, кроме полосы в районе 100 Гц, то мощность шума уменьшается на фактор порядка отношения периода гравитационных волн (0.01 сек) и времени затухания маятника (10^8 сек). В результате среднеквадратичная тепловая флуктуация опускается до нужного уровня. Как фильтрование реализовано технически я не уверен. По-моему, делается цифровая обработка сигнала в реальном времени.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2016-02-27 05:15 pm (UTC)