Велосипед все изобретался и изобретался, или о непостижимой эффективности математики

[leblon]

Физики-твердотельщики последнее время начали набредать на интересные математические конструкции, но обычно им не хватает образования понять, что они изобрели нечто хорошо известное. Аналогичная ситуация была в физике элементарных частиц в 70е и 80е, но там физики быстро сообразили, что надо идти учить дифференциальную геометрию и топологию, а не изобретать велосипед (в этом, наверное, есть заслуга советских математиков, вроде Новикова, Дринфельда и Манина, которые любили поговорить с физиками. Ну и еще Атиа с Хитчиным постарались).

Несколько недавних примеров изобретения велосипеда. Квадраты Стинрода. Спектральная последовательность Атиа-Хирцебруха. Морита-эквивалентность алгебр.

Comments

[alphist.livejournal.com]

А можно парочку ссылок? Интересно бы узнать если эти "велосипеды" реально там нужны или это просто натягивание совы на глобус.

[leblon.livejournal.com]

Steenrod squares: http://arxiv.org/abs/1201.2648
Atiyah-Hirzebruch spectral sequence: http://arxiv.org/abs/1303.1803

В обоих случаях, авторы слов таких не используют, потому что их не знают (или не знали, при написании статьи) но по сути это оно.

[alphist.livejournal.com]

Спасибо за линки. Поправьте пожалуйста если я ошибаюсь, но как мне кажется там эта топологическая техника (которую как вы заметили они не зная переоткрыли) играет сугубо подчиненную роль. В том смысле что ее используют для вычислений, но она не добавляет понимания (чтобы не быть голословным, пример топологии которая имхо проясняет дело, это например то что аномалия в теории это следствие того что некий пучок нетривиален).

[leblon.livejournal.com]

Я так не думаю. В принципе, любое применение математики в физике можно заменить на некое сложное вычисление, но поскольку понимание при этом пропадает, то (1) очень легко сделать ошибку; (2) можно не заметить , что конструкция или понятие работают в большей общности, чем казалось. В данном случае, можно наблюдать оба эффекта. В статье Вена-Гу (статья очень важная, кстати) есть ошибка. Эта ошибка очевидна, если знать про квадраты Стинрода и про работу Дэна Фрида (он математик) десятилетней давности. Если эту ошибку исправить (что мы с соавтором недавно сделали), то обнаруживается совершенно фундаментальный факт: связь спина и статистики для решеточных моделей. Эту связь трудно сформулировать, не зная, что такое спиновая структура и классы Штифеля-Уитни, поскольку обычно физики формулируют, что такое спин, для теории с вращательной симметрией, а тут ее нет.

[alphist.livejournal.com]

Понятно. Спасибо за развернутый ответ.

[vk-physics.livejournal.com]

Ничего не понимаю. Если взять электроны со спином 1/2 и поместить их в решетку, то что, утрачивается связь спина и статистики? Спин 1/2 введен нами в решетку по построению, а не в силу симметрии. Также по построению можно рассматривать только антисимметричные волновые функции, дающие тогда автоматически статистику Ферми-Дирака. Это соответствует эксперименту и такая конструкция математически непротиворечива.

Гидрид и ангидрид

[vk-physics.livejournal.com]

А как дифференциальная геометрия помогает физикам элементарных частиц?

[wefwtgerw.livejournal.com]

Странно что Вен.Он же бывший струнщик,под руководством Виттена защитил PhD.Должен был если не знать то понимать что в математике подобные конструкции могут быть.
Не мне судить конечно,мой научный уровень более чем скромный,но вот то что все эти высокие конструкции помогут добиться прогресса в фтт...Скорее это даст развитие самой ктп,например TQFT всякое получит новые методы которые потом можно будет применить ну я не знаю для кварков в протоне,в некотором роде это тоже сильнокоррелированная многочастичная система.А вот фтт и дальше будет развиваться опираясь на свои "классические" модели.Вот если судить по российским твердотельщикам (по крайней мере тех людей что знаю я) то к подобным работам относятся весьма брезгливо.Причина мне кажется в том что-много сложной математики которая не входит ни в один университетский курс для физиков (для фтт),а реальных результатов проверяемых в эксперименте почти нет.

[vk-physics.livejournal.com]

Да, я тоже так считаю. Вообще математикам важно учиться у физиков, в частности, уяснить идею об ограниченности всяких теоретических представлений о том и о сем. Всякая теория не полна и имеет свои границы. Математикам это не нравится, - они претендуют на фундаментальность и универсальность.

[buddha239.livejournal.com]

И как Вы предлагаете этой замечательной идеей пользоваться в математике (теорему Геделя не предлагать!)?:)

[vk-physics.livejournal.com]

Я выразился неоднозначно, извините. Я, конечно, имел ввиду физику, а не математику. Физика - наука приближенная и всякая физическая теория имеет свои границы, где ее понятия перестают быть выражаемыми количественно, а значит, и быть описаны математически. А математики стремятся к обобщениям и "аналитическим продолжениям" тех ограниченных количественных соотношений (уравнений), которые нащупывают физики. "Непостижимая эффективность математики" не везде работает в физике, не надо преувеличивать.

[buddha239.livejournal.com]

Договорились - не буду преувеличивать!:)