Еще о дилогарифмах
Aug. 7th, 2015 02:29 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonВсего 5 дней в Бюре, а уже кое-что полезное узнал (от Г.) Вкратце, дилогарифм так же нужен для вычисления 2го класса Черна, как логарифм - для вычисления первого класса Черна. Более подробно, 1й класс Черна линейного расслоения вычисляют так: берутся функции перехода на двойных пересечениях "стягиваемого" открытого покрытия (функции эти принимают значения в комплексных числах с модулем единица), от них берется логарифм. Потом на тройных пересечениях берутся подходящие линейные комбинации трех логарифмов, получаются целые числа, которые и задают коцикл, представляющий 1й класс Черна. Целочисленность следует из всем известного 3-членного функционального соотношения для логарифма log(xy)=log x + log y, которое выпоняется по модулю 2 пи i целое.
Теперь берем главное SU(2) расслоение на многообразии. SU(2) - это геометрически просто 3-мерная сфера единичного объема, с отмеченной точкой (единичным элементом группы). Как вычислить 2й класс Черна такого расслоения? (1й зануляется). Берем функции перехода. На двойных пересечениях получаем SU(2)-значные функции, т.е. точки в SU(2), гладко зависящие от местоположения на базе. Соединим их путями с отмеченной точкой, так чтобы пути тоже гладко зависели. Например, можно использовать геодезические пути. На тройных пересечениях получаем три пути начинающиеся в отмеченной точке; если одих из них параллельно перенести, получится сферический треугольник, гладко зависящий от местоположения на базе и с вершиной в отмеченной точке. На четверных пересечениях получаем четыре сферических треугольника, все с одной вершиной в отмеченной точке . Если один из них параллельно перенести, получим сферический тетраэдр, гладко зависящий от местоположения на базе и с одной вершиной в отмеченной точке. Его обьем дает нам гладкую вещественную функцию на каждом четверном персечении. Теперь на пятерных пересечениях у нас есть пять тетраэдров и пять таких функций. Если взять подходящую линейную комбинацию этих функций, то получится целое число. Этот набор целых чисел задает 4-коцикл, представляющий 2й класс Черна.
Дилогарифм получается вот откуда: если мы хотим вычислить объем сферического тетраэдра зная его двугранные углы, то ответ дается хитрой линейной комбинацией дилогарифмов от этих углов. 5-членное функциональное соотношения для дилогарифма аналогично 3-членному соотношению для обычного логарифма и обеспечивает целочисленность нашего 4-коцикла.
Подробности:
http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104286562
http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-30308-4_1/fulltext.pdf
Теперь берем главное SU(2) расслоение на многообразии. SU(2) - это геометрически просто 3-мерная сфера единичного объема, с отмеченной точкой (единичным элементом группы). Как вычислить 2й класс Черна такого расслоения? (1й зануляется). Берем функции перехода. На двойных пересечениях получаем SU(2)-значные функции, т.е. точки в SU(2), гладко зависящие от местоположения на базе. Соединим их путями с отмеченной точкой, так чтобы пути тоже гладко зависели. Например, можно использовать геодезические пути. На тройных пересечениях получаем три пути начинающиеся в отмеченной точке; если одих из них параллельно перенести, получится сферический треугольник, гладко зависящий от местоположения на базе и с вершиной в отмеченной точке. На четверных пересечениях получаем четыре сферических треугольника, все с одной вершиной в отмеченной точке . Если один из них параллельно перенести, получим сферический тетраэдр, гладко зависящий от местоположения на базе и с одной вершиной в отмеченной точке. Его обьем дает нам гладкую вещественную функцию на каждом четверном персечении. Теперь на пятерных пересечениях у нас есть пять тетраэдров и пять таких функций. Если взять подходящую линейную комбинацию этих функций, то получится целое число. Этот набор целых чисел задает 4-коцикл, представляющий 2й класс Черна.
Дилогарифм получается вот откуда: если мы хотим вычислить объем сферического тетраэдра зная его двугранные углы, то ответ дается хитрой линейной комбинацией дилогарифмов от этих углов. 5-членное функциональное соотношения для дилогарифма аналогично 3-членному соотношению для обычного логарифма и обеспечивает целочисленность нашего 4-коцикла.
Подробности:
http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104286562
http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-30308-4_1/fulltext.pdf
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2015-08-07 12:44 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-07 01:46 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-07 01:47 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-23 06:22 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-11 12:38 am (UTC)Я лично люблю думать про первый класс Черна как про класс деформации, а именно деформации категории пучков на базе до категории монодромических пучков на тотальном пространстве расслоения на окружности. Мне кажется, в том, что ты описываешь неявно содержится такое описание для c_2; а как сделать его явным?
(no subject)
Date: 2015-08-11 07:18 am (UTC)http://users.math.yale.edu/users/goncharov/4821
("Explicit constructions of characteristic classes").
Но я не знаю, что такое монодромный пучок.
(no subject)
Date: 2015-08-12 11:24 pm (UTC)Спасибо за ссылку; жалко, что у Саши Г нет жж, так что как узнать про его алгебраизацию непонятно!
(no subject)
Date: 2015-08-23 06:28 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-14 12:35 am (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-23 06:41 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-23 06:54 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-08-23 07:18 pm (UTC)Вот тут и обзор Сашин http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-295-350.pdf
(no subject)
Date: 2015-08-25 09:56 am (UTC)