Спин и статистика
May. 22nd, 2015 11:20 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonЯ тут статью написал, которая мне очень нравится. Сейчас расскажу почему. История начинается давно, еще в 30е годы. Фирц и Паули показали, что в локальной релятивисткой квантовой механике частицы с целым спином должны быть бозонами (подчиняться статистике Бозе-Эйнштейна), а частицы с полуцелым спином фермионами (подчиняться статистике Ферми-Дирака). Т.е. если оператор рождения частицы реализует обычное представление группы Лоренца, то пространство состояний это бозонное пространство Фока (сумма всех симметрических степеней пространства одночатичных состояний). А если представление проективное, то надо использовать фермионное пространство Фока (сумма всех внешних степеней). Иначе либо причинность будет нарушаться, либо энергия не будет ограничена снизу. Очень важная теорема. Лоренц-инвариантность тут очень по делу, в нерелятивисткой теории поля нет проблемы с бозонами полуцелого спина, или с фермионами целого спина.
А что если Лоренц-инвариантность отсутствует? Например, если пространство искривлено, как в общей теории относительности? Или если оно дискретное на очень малых расстояниях? Как тогда отличить два типа частиц?
С точки зрения геометрии, полуцелый спин отличается от "нормального" тем, что наличие метрики на пространстве-времени еще не полностью определяет, как его параллельно переносить из точки в точку. Нужна еще спиновая структура. Это понятие, в отличие от метрики, дискретное и чисто топологическое. На компактном пространстве есть только конечное число вариантов спиновой структуры. И спиновую структуру, с некоторыми усилиями, можно определить даже в ситуации, когда наше пространство негладкое, а, например, составлено из маленьких многогранников. Такая дискретизация пространства - стандартный технический прием в физике (например, в теории поля на решетке, в стат. механике, и в моделях физики твердого тела). Значит, если связь спина со статистикой распространяется и на такие ситуации (это неочевидно), то мы ожидаем, что для определения фермионных моделей на решетке (например, на триангулированном пространстве) потребуется задать спиновую структуру.
Странным образом, ничего такого в литературе не наблюдалось. Правда, это может быть связано с тем, что физики обычно рассматривают очень регулярные (кубические) решетки, с периодическими граничными условиями. Т.е. тороидальную геометрию. В таких ситуациях затруднительно отличить спиновую структуру от других, более простых вещей.
Недавно, в связи с топологическими фазами вещества, физики наконец заинтересовались моделями стат. механики с фермионами. Т.е. моделями, где на симплексах триангуляции живут как фермионы (анти-коммутирующие переменные), так и обычные бозоны (например, элементы конечного множества, как в модели Изинга). Стат. сумма тогда - сумма по бозонным переменным и интеграл Березина по фермионным переменным. Такие модели описывают топологические фазы материи, "сделанные" из электронов. Парадокс в том, что никакой спиновой структуры при этом замечено не было. Этот вопрос можно было задать еще в 60е годы, когда физики (Либ, Маттис и пр.) обнаружили феномен "бозонизации": некоторые модели фермионов в одном пространственном измерении эквивалентны бозонным моделям. Но ведь уравнение Дирака зависит от выбора спиновой структуры, а бозонам на нее начхать, как же так?
Ответ оказался простым: люди просто "проморгали" зависимость от спиновой структуры. Некоторые формулы в физических статьях плохо определены если ее не зафиксировать. Причина появления спиновой структуры проста: фермионы в разных точках анти-коммутируют, значит, если порядок точек не зафиксирован, произведение фермионных наблюдаемых, из которых строится лагранжиан, определено с точностью до знака. Оказывается, чтобы убрать эту неоднозначность, достаточно фиксировать спиновую структуру (точнее, ее дискретный аналог). Т.е. связь спина и статистики имеет место быть безо всякой Лоренц инвариантности. А вот локальность (т.е. возможность все дискретизовать) существенна.
Попутно мы придумали как описывать спиновые структуры на триангулированных многообразиях чисто комбинаторно. Математики, вроде, знали только как это делать в размерности 2. И заодно мы получили комбинаторную конструкцию некоторых топологических инвариантов спиновых многообразий (например, спиновой аналог Тураева Виро, или спиновых бордизмов). Попросту, написали модели стат. механики, стат. сумма которых вычисляет эти инварианты.
А что если Лоренц-инвариантность отсутствует? Например, если пространство искривлено, как в общей теории относительности? Или если оно дискретное на очень малых расстояниях? Как тогда отличить два типа частиц?
С точки зрения геометрии, полуцелый спин отличается от "нормального" тем, что наличие метрики на пространстве-времени еще не полностью определяет, как его параллельно переносить из точки в точку. Нужна еще спиновая структура. Это понятие, в отличие от метрики, дискретное и чисто топологическое. На компактном пространстве есть только конечное число вариантов спиновой структуры. И спиновую структуру, с некоторыми усилиями, можно определить даже в ситуации, когда наше пространство негладкое, а, например, составлено из маленьких многогранников. Такая дискретизация пространства - стандартный технический прием в физике (например, в теории поля на решетке, в стат. механике, и в моделях физики твердого тела). Значит, если связь спина со статистикой распространяется и на такие ситуации (это неочевидно), то мы ожидаем, что для определения фермионных моделей на решетке (например, на триангулированном пространстве) потребуется задать спиновую структуру.
Странным образом, ничего такого в литературе не наблюдалось. Правда, это может быть связано с тем, что физики обычно рассматривают очень регулярные (кубические) решетки, с периодическими граничными условиями. Т.е. тороидальную геометрию. В таких ситуациях затруднительно отличить спиновую структуру от других, более простых вещей.
Недавно, в связи с топологическими фазами вещества, физики наконец заинтересовались моделями стат. механики с фермионами. Т.е. моделями, где на симплексах триангуляции живут как фермионы (анти-коммутирующие переменные), так и обычные бозоны (например, элементы конечного множества, как в модели Изинга). Стат. сумма тогда - сумма по бозонным переменным и интеграл Березина по фермионным переменным. Такие модели описывают топологические фазы материи, "сделанные" из электронов. Парадокс в том, что никакой спиновой структуры при этом замечено не было. Этот вопрос можно было задать еще в 60е годы, когда физики (Либ, Маттис и пр.) обнаружили феномен "бозонизации": некоторые модели фермионов в одном пространственном измерении эквивалентны бозонным моделям. Но ведь уравнение Дирака зависит от выбора спиновой структуры, а бозонам на нее начхать, как же так?
Ответ оказался простым: люди просто "проморгали" зависимость от спиновой структуры. Некоторые формулы в физических статьях плохо определены если ее не зафиксировать. Причина появления спиновой структуры проста: фермионы в разных точках анти-коммутируют, значит, если порядок точек не зафиксирован, произведение фермионных наблюдаемых, из которых строится лагранжиан, определено с точностью до знака. Оказывается, чтобы убрать эту неоднозначность, достаточно фиксировать спиновую структуру (точнее, ее дискретный аналог). Т.е. связь спина и статистики имеет место быть безо всякой Лоренц инвариантности. А вот локальность (т.е. возможность все дискретизовать) существенна.
Попутно мы придумали как описывать спиновые структуры на триангулированных многообразиях чисто комбинаторно. Математики, вроде, знали только как это делать в размерности 2. И заодно мы получили комбинаторную конструкцию некоторых топологических инвариантов спиновых многообразий (например, спиновой аналог Тураева Виро, или спиновых бордизмов). Попросту, написали модели стат. механики, стат. сумма которых вычисляет эти инварианты.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2015-05-22 04:27 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 04:49 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 08:42 pm (UTC)А если у нас бутылка Клейна, то спин можно будет выворачивать простым сдвигом?
Теорема или свойство?
Date: 2015-05-22 08:51 pm (UTC)Скажите, а у Вас не то же самое? Не делаете ли Вы выбор по Вашему усмотрению, ведь не всё получается "автоматически"?
(no subject)
Date: 2015-05-22 09:16 pm (UTC)Пожалуй, даже попытаюсь разобрать эту статью более детально.
(no subject)
Date: 2015-05-22 09:51 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 10:30 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 10:50 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 11:16 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 11:20 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-22 11:24 pm (UTC)связность при дискретизации
Date: 2015-05-22 11:59 pm (UTC)А вот у С.П.Новикова (с соавторами) в работах десятилетней давности связность была и в дискретном варианте. Он так же, как и Вы, разбивал плоскость на треугольники. И очень гордился тем, что не на квадраты :) До трёхмерного случая он, в отличие от Вас, не дошел.
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-23 12:07 am (UTC)То есть, с физической точки зрения это теорема, так как дано точное утверждение общего характера. А для физики привлечение дополнительных соображений естественно (и необходимо).
А с математической точки зрения есть варианты...
спиновая связность
Date: 2015-05-23 12:52 am (UTC)Кстати, много лет спустя С.П. Новиков говорил о связи его работ с деятельностью Станислава Смирнова, за которую тот получил Филдсовскую медаль в 2010 г. Говорил не без гордости:)
Так что, если захотите, можете при случае сказать, как далеко можно продвинуться по пути, проложенному великим С.П. :)))
связь спина и статистики?
Date: 2015-05-23 01:33 am (UTC)Ещё о спиновой связности
Date: 2015-05-23 03:04 am (UTC)Я, кажется, понял, что Вы имели в виду.
В книге Дубровина, Новикова, Фоменко, которую Вы упоминали в конце 2008 г. в Вашем журнале в связи с возможным написанием книги по ТП для математиков, есть задача: вывести выражение для спиновой связности. Там приводится ответ: связность Леви-Чивиты, свернутая по двум индексам с произведением двух матриц Паули. (Там трёхмерный случай). Правильное выражение написано во втором томе Ландау-Лифшица в разделе "тетрадный формализм" и представляет собой выражение через ковариантные производные репера (3 члена), аналогичные выражению для связности Леви-Чивиты через обычные частные производные метрики. Лифшиц спиноры в книге не рассматривал, вместо слов спиновая связность у него написаны "коэффициенты вращения Ричи", что гораздо менее информативно.
С.П. писал, что он много лет изучал курс Ландау-Лифшица. Очевидно, вторую часть т.2 (гравитацию), малую часть 3-го и 4-го томов. Но тут, видно, оказалось не так просто...
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-23 08:10 am (UTC)спиновые структуры, Вергелес и космологическая постоя
Date: 2015-05-23 08:47 am (UTC)Он в предыдущих своих работах писал, что решил проблему космологической постоянной. Но там это выглядит очень сомнительно.
Тем не менее, John Baez в своем блоге отмечает, что спиновая структура, по его мнению, лучший пример торсора. Поэтому надо рассматривать одну с.с. относительно другой, а не саму по себе (или вводить связность). Так вот, может быть, если сложить вклады от разных спиновых структур, то и можно получить ноль. Как в GSO - проекции? Конечно, очень спекулятивно. Что думаете?
Wilson fermion doubling phenomenon on irregular lattice: the similarity and difference with the case of regular lattice
S.N. Vergeles
arXiv:1502.03349
Comments: 20 pages, 3 figures
Subjects: High Energy Physics - Lattice (hep-lat)
Re: спиновые структуры, Вергелес и космологическая пост
Date: 2015-05-23 10:19 am (UTC)В квантовой гравитации, безусловно, надо суммировать по всем спиновым структурам. В каком-то смысле, наша статья проясняет, как могут выглядеть веса в такой сумме. Но не думаю, что так можно "убить" космологическую постоянную. Если пространство односвязное, то в сумме всего один член. А наша Вселенная выглядит односвязной.
Re: связь спина и статистики?
Date: 2015-05-23 10:27 am (UTC)тест на неодносвязность Вселенной
Date: 2015-05-23 10:48 am (UTC)Насчёт односвязности Вселенной согласиться не могу.
Люди (например,Смут -лауреат Нобелевской премии 1998 г. за открытие анизотропии реликтового излучения в 1992 г.) рассматривали наблюдательные следствия того, что наша Вселенная - тор. При этом надо, чтобы размер тора был не намного больше современного горизонта.
А из зануления космологической постоянной можно сделать вывод, что Вселенная (грубо говоря) - тор при сколь угодно большом размере, недоступном для наблюдения!
Конечно, очень спекулятивно, но, думаю, идея ясна.
arXiv:astro-ph/9705125
Constraining topology with the CMB
Angelica de Oliveira-Costa, George F. Smoot, Alexei A. Starobinsky
Comments: Proceedings from XXXIst Recontres de Moriond: Future CMB missions. 6 pages, with 3 figures, and cmb.sty included. Color figures and links at this http URL
Subjects: Astrophysics (astro-ph)
arXiv:astro-ph/9510109
Can the lack of symmetry in the COBE/DMR maps constrain the topology of the universe?
Angelica de Oliveira-Costa, George F. Smoot, Alexei A. Starobinsky
Comments: 14 pages, with 4 figures included.
Journal-ref: Astrophys.J. 468 (1996) 457
Subjects: Astrophysics (astro-ph); General Relativity and Quantum Cosmology (gr-qc)
Re: тест на неодносвязность Вселенной
Date: 2015-05-23 11:27 am (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-23 12:27 pm (UTC)Через решение уравнений Эйнштейна космологическая постоянная очень косвенно влияет на движение фотонов.
Так что в этом месте не вижу никакой проблемы.
(no subject)
Date: 2015-05-23 02:01 pm (UTC)А фермионная модель Хаббарда таковой не является?
И еще, - есть ли какая-то специфика у моделей с itinerant fermions по сравнению с pinned fermions в вашем описании? Т.е. когда число фермионных степеней свободы меньше числа симплексов, и они могут перемещаться между узлами решетки?
(no subject)
Date: 2015-05-23 05:45 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-27 08:00 pm (UTC)Что касается второго, то фермионы в нашей модели живут не на всех симплексах данной размерности. Там есть коцикл (функция на симплексах) который принимает значения 0 и 1. Если значение коцикла равно нулю, то фермион на этом симплексе отсутствует, а если наоборот 1, то фермион есть.
(no subject)
Date: 2015-05-27 08:01 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-27 10:00 pm (UTC)Если можно, то хотел бы еще спросить. Если мы рассматриваем систему фермионов конечной плотности вдали от "половинного заполнения" (число фермионов строго равно числу узлов решетки), то обычно при этом нарушается зарядовая симметрия, и при вычислении partition function могут вылезать отрицательные вероятности (проблема фермионного знака).
Мне нравится, как про это написано в 1410.8535 .
У вас никаких подобных явлений не наблюдается? И если наблюдаются, есть ли какая-то интуиция насчет того, какие математические структуры могут стоять behind it?
(no subject)
Date: 2015-05-27 10:21 pm (UTC)(no subject)
Date: 2015-05-27 10:29 pm (UTC)Буду очень признателен, если найдете возможность продолжить дискуссию.
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-29 12:28 pm (UTC)Кстати, в кривом пространстве мы вводим дополнительно локальную группу Лоренца и относительно неё определяем представления (см. мой комментарий ниже).
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-29 05:30 pm (UTC)Пока-что в качестве единственной "более глубокой причины" я вижу желание автора иметь спин. Сначала вводятся фермионные переменные, а потом определяются условия непротиворечивости их введения.
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-29 09:01 pm (UTC)Re: Ещё о спиновой связности
Date: 2015-05-29 09:09 pm (UTC)Далее, связность на спиновом расслоении локально определяется связностью Леви Чивита. Но глобально ни само спиновое расслоение, ни связность на нем не определяется метрикой. Есть произвол, который заключается в выборе функций перехода. Точнее, функции перехода для касательного расслоения определяют функции перехода для спинового расслоения с точностью до знака. Выбор этих знаков и есть выбор спиновой структуры.
Re: Ещё о спиновой связности
Date: 2015-05-29 09:59 pm (UTC)Всё-таки, я думаю, в гравитации (обычной 4-х мерной при стандартном подходе Фока-Иваненко, Германа Вейля 20-х годов) у нас по-другому, хотя уже начинаю сомневаться:).
1.Когда мы рассматриваем риманову поверхность, то у нас спинор - квадратный корень из касательного вектора и всё, как Вы написали.
2. Но в гравитации "обычной" функции перехода для касательного расслоения определяются координатными преобразованиями, а для спинового расслоения - локально - лоренцевыми, т.е., независимыми от координатных. (Правда, связь есть: полная ковариантная производная от репера от этих двух локальных групп равна нулю). Я не исключаю того, что мы используем разную терминологию и под связностью Леви-Чивиты я понимаю трёхиндексный символ из т.2 Ландау- Лифшица, а Вы - полную ковариантную производную (репера)и тогда мы говорим о том же самом. Не согласны?
Два подхода видится. Один - определение спинового расслоения через касательное расслоение (то есть, только в рамках общекоординатных преобразований, локальной группы Лоренца не надо). Нелинейно реализованное представление. А второй - указанный выше по Фоку-Иваненко - линейно реализованное представление. (По таким фермионам удобно интегрировать и, например, находить гравитационные поправки к уравнениям Максвелла).
3.Кстати, расслоения реперов могут быть и нетривиальными. Например, для неориентированного многообразия. Может быть, стоит их тоже комбинаторно описать даже без спиноров?:)
Re: Теорема или свойство?
Date: 2015-05-30 09:34 pm (UTC)