leblon | (no subject)

Дошло до меня (о великий визирь), что системы фермионов на дискретном двумерном пространстве (триангуляции) на больших расстояниях описываются моделями статистической физики, основанными на тензорной категории над симметрической тензорной категорией Z/2 градуированных векторных пространств. (Для бозонов то же, но векторные пространства не градуированы). А отсюда вытекает "связь спина и статистики" даже в отсутствие вращательной или Лоренц инвариантности. Дело в локальности, а не в симметриях. А сама связь - чисто топологический факт.

А теперь маленький вопрос к математикам. Мне кажется, что нельзя получить обычную тензорную категорию из Z/2 градуированной путем забывания Z/2 градуировки. Потому что определение тензорной категории зависит от симметрической структуры над "базовой" симметрической тензорной категории. А функтор забывания из Z/2 градуированных векторных пространств в обычные не сохряняет симметрическую моноидальную структуру.

Flat | Top-Level Comments Only

Очень правильно подмечено - commutativity constraint(?) надо менять. Кстати, всегда хотел спросить понимающего человека - нельзя ли к физике категории комплексов пристегнуть? Ведь замена знака в тензорном произведении (через раз:)) как раз при тензорном перемножении комплексов возникает.

Конечно, категории комплексов возникают как категории бран (суперсимметричных граничных условий) в двумерной топологической теории поля. На этом вся гомологическая зеркальная симметрия построена.

Нельзя - там разное тензорное произведение.
При умножении алгебр клиффорда это довольно больно отзывается:
градуированное произведение алгебр Клиффорда для V и W
это Cl(V+W), а перейти к обычному произведению без
контр-интуитивных ухищрений нельзя, в результате
у нас ужасно портится сигнатура.

Опыт алгебр Клиффорда нас учит, что в алгебре
должен быть центральный элемент, подкрутка
на который делает из одного тензорного
произведения другое.

Кстати, а известны ли какие-нибудь простые комбинаторные модели (типа модели Изинга) на триангуляциях 2-мерных поверхностей, в которых корреляционные функции (или их асимптотика) зависят только от топологии соотв. поверхности? Бывает что-нибудь такое?

Конечно. Это т.н. state-sum models in 2d TQFT. Строятся по любой конечномерной ассоциативной полупростой алгебре. Конструкцию см. здесь: http://arxiv.org/abs/hep-th/9212154. Есть и обобщение на трехмерные модели (конструкция Тураева-Виро).

Большое спасибо! Про инвариант Тураева-Виро я слышал - можно было бы умножить 2-мерную поверхность на окружность, конечно, и применить Тураева-Виро, но мне это не нравилось, т.к. произведение - не симплициальная операция (в смысле что произведение симплексов уже не симплекс).