(no subject)

[leblon]

Между делом, на семинаре по кластерным алгебрам узнал про инвариант Дена. Это такая штука, которая (1) сопоставляется каждому многограннику в 3-х мерном пространстве; (2) аддитивна, т.е. инвариантна по отношению к разрезанию на две части плоскостью; (3) не является объемом. Кажется фантастикой, что все эти три условия могут выполнены, и тем не менее инвариант Дена существует и определение довольно простое. Фокус в том, что это не число, а элемент некоторой абелевой группы. Крутейшая вещь. Этот инвариант равен нулю для куба и не равен нулю для тетраэдра того же объема, так что нельзя куб разрезать на конечное число частей и сложить из них тетраэдр.

Интересно, что там в высших размерностях происходит.

Comments

[juan-gandhi.livejournal.com]

Это роскошно! Перепощу.

Я, правда, не очень понял, что это за зверь будет, это тензорное произведение R и R/Qπ

[leblon.livejournal.com]

В этом вся фишка: проще, чем сказать, что это тензорное произведение R и R/Q, не получится. Типа, когда простой человек думает про абелевы группы, он воображает себе циклическую группу, или там вещественные числа, или рациональные. А этими примерами все далеко не исчерпывается.

[clovis3.livejournal.com]

Длина стороны и угол -- это, в известном смысле, сопряжённые переменные, так что их произведение обычном смысле (то есть над R) имеет физический смысл. Но тут почему-то надо перемножать над Z или над Q, да ещё и обещают, что объём и инвариант Дена вместе классифицируют ножнице-эквивалентные многогранники. Чудеса, да и только!

Кстати, если исходить из того, что надо перемножать сопряжённые переменные, то можно попробовать двинуться в многомерный случай. Но сначала хотелось бы понять, есть ли какая-то физика у инварианта Дена.

Какое отношение это всё имеет к кластерным алгебрам?

[leblon.livejournal.com]

Я уже плохо помню, там как-то было связано с построением примеров элементов групп K_2 и K_3 для поля комплексных чисел. Надо у Фока и/или Гончарова посмотреть, что ли.

[juan-gandhi.livejournal.com]

О, кстати, а над чем это тензорное произведение? Вот что как-то ускользает.

[leblon.livejournal.com]

Над Z. Абелевы группы - это модули над Z.

[juan-gandhi.livejournal.com]

А, ну да. Спасибо.

[mancunian.livejournal.com]

У нас тут докладчик недавно спросил аудиторию, какие она знает аддитивные подгруппы Q. И оказалось, что это довольно нетривиальный вопрос, и ответ на него тоже.

[38irtimd.livejournal.com]

в смысле не конечно порождённые?
индуктивные пределы конечно-порождённых, очевидно. счётные.
наверное можно придумать конкретное описание, какие-нибудь последовательности генераторов (осталось понять, какие последовательности дают одинаковые пределы).

[mancunian.livejournal.com]

Ну, например, дроби со square-free знаменателями. ;)

[38irtimd.livejournal.com]

ну можно и без, просто с тензорным произведением универсальный инвариант

выбрать гомоморфизм \theta: R \to R над Q и взять композицию с подкрученным умножением R \otimes_Q R \to R, (a,b) \mapsto a\theta(b)

[traveller2.livejournal.com]

+1000000 Great thing.

[roma.livejournal.com]

ну так вроде первая решенная проблема Гильберта, а не жук начхал.