Фононы в жидкости и теорема Голдстоуна

Есть такая "теорема Голдстоуна", которая утверждает, что если в релятивистской квантовой теории спонтанно нарушена некая непрерывная симметрия (т.е. вакуум не инвариантен по отношению к этой симметрии), то в спектре должна быть безмассовая частица спина 0. Тут предполагается, что симметрия "внутренняя", т.е. не действует на координаты. А также что вакуум инвариантен по отношению к трансляциям, вращениям, и бустам (лоренцевским преобразованиям).

В нерелятивисткой ситуации дело обстоит сложнее, даже для внутренних симметрий. Но можно, например, задать вопрос: можно ли интерпретировать фонон в жидкостях как голдстоуновскую частицу? И если да, то почему фонон один? Ведь в жидкости нарушены, по крайней мере, три симметрии. Система отсчета, где жидкость покоится, выделена, а значит галилеевские преобразования (переход в движущуюся систему координат) не сохраняют основное состояние. Таких преобразований три (потому что у скорости три компоненты), но тогда почему фонон один? Этот вопрос есть уже в старой книге Пайерлса "Сюрпризы в теоретической физике", но ответа там нет.

Тут, конечно, следует считать, что жидкость находится при температуре, близкой к нулю. Такая жидкость будет сверхтекучей, а значит на самом деле там будет еще и "второй звук" (температурные волны).Давайте уж лучше положим температуру равной нулю, тогда у нас только обычный фонон останется. Какое же он имеет отношение к нарушенным симметриям?

Ответ такой. В нерелятивистской теории галилеевские бусты и трансляции не коммутируют, и их коммутатор пропорционален оператору числа частиц.(См. одну из задач в 3-м томе Ландау-Лифшица). Этот оператор - генератор U(1) симметрии, которая в сверхтекучей жидкости спонтанно нарушена. Собственно, это один из первых примеров спонтанного нарушения симметрии. Так что нарушены четыре симметрии, а не три: три буста и эта самая U(1). Фонон, тем не менее, один, и "отвечает" за все четыре симметрии. Можно написать чисто из соображений симметрии лагранжиан для фонона, и соответствующие уравнения движения - это в точности уравнения Гросса-Питаевского, которые описывают сверхтекучую жидкость. Такой вывод этого уравнения показывает, что уравнение совершенно общее, и не зависит ни от каких микроскопических деталей. Если галилеевская симметрия нарушена явно, а не спонтанно (например, если жидкость налили тонким слоем на твердый субстрат), то фонон все равно остается, потому что U(1) симметрия никуда не делась. Уравнения движения, однако, будут более общими, чем у Гросса-Питаевского.