Еще о дилогарифмах

Всего 5 дней в Бюре, а уже кое-что полезное узнал (от Г.) Вкратце, дилогарифм так же нужен для вычисления 2го класса Черна, как логарифм - для вычисления первого класса Черна. Более подробно, 1й класс Черна линейного расслоения вычисляют так: берутся функции перехода на двойных пересечениях "стягиваемого" открытого покрытия (функции эти принимают значения в комплексных числах с модулем единица), от них берется логарифм. Потом на тройных пересечениях берутся подходящие линейные комбинации трех логарифмов, получаются целые числа, которые и задают коцикл, представляющий 1й класс Черна. Целочисленность следует из всем известного 3-членного функционального соотношения для логарифма log(xy)=log x + log y, которое выпоняется по модулю 2 пи i  целое.

Теперь берем главное SU(2) расслоение на многообразии. SU(2) - это геометрически просто 3-мерная сфера единичного объема, с отмеченной точкой (единичным элементом группы). Как вычислить 2й класс Черна такого расслоения? (1й зануляется). Берем функции перехода. На двойных пересечениях получаем SU(2)-значные функции, т.е. точки в SU(2), гладко зависящие от местоположения на базе. Соединим их путями с отмеченной точкой, так чтобы пути тоже гладко зависели. Например, можно использовать геодезические пути. На тройных пересечениях получаем три пути начинающиеся в отмеченной точке; если одих из них параллельно перенести, получится сферический треугольник, гладко зависящий от местоположения на базе и с вершиной в отмеченной точке. На четверных пересечениях получаем четыре сферических треугольника, все с одной вершиной в отмеченной точке . Если один из них параллельно перенести, получим сферический тетраэдр, гладко зависящий от местоположения на базе и с одной вершиной в отмеченной точке. Его обьем дает нам гладкую вещественную функцию на каждом четверном персечении. Теперь на пятерных пересечениях у нас есть пять тетраэдров и пять таких функций. Если взять подходящую линейную комбинацию этих функций, то получится  целое число. Этот набор целых чисел задает 4-коцикл, представляющий 2й класс Черна.

Дилогарифм получается вот откуда: если мы хотим вычислить объем сферического тетраэдра зная его двугранные углы, то ответ дается хитрой линейной комбинацией дилогарифмов от этих углов. 5-членное функциональное соотношения для дилогарифма аналогично 3-членному соотношению для обычного логарифма и обеспечивает целочисленность нашего 4-коцикла.

Подробности:
http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104286562
http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-30308-4_1/fulltext.pdf