Как повернуть время вспять

Большая часть законов физики инвариантна (т.е. симметрична) по отношению к замене направления времени. (Ну, кроме второго начала термодинамики, но это в каком -то смысле не закон, а наблюдение. Представить себе мир, в котором закон Кулона не выпоняется, можно, а вот мир, где второе начало термодинамики не выполняется, так же невозможен, как и мир, где 1+1=2.5. ) Правда, слабые взаимодействия таки нарушают симметрию по отношению к обращению времени. Чуть-чуть, но нарушают. Но по большей части это незаметно.

Так вот, если такая симметрия (обычно обозначаемая Т) есть, то возникает вопрос, а что будет, если ее применить дважды ? Казалось бы, ответ ясен: ничего не будет. То есть два обращения времени (ТТ) - это тождественное преобразование, которое ничего не делает.

На самом деле, ответ не так очевиден и зависит от теории, с которой мы имеем дело! Например, если взять типичную физическую теорию содержащую фермионы (квантовую электродинамику КЭД, или теорию сильных взаимодействий КХД) , то ТТ - это не тождественное преобразование, а преобразование, которое все фермионы умножает на -1. Например, в КЭД все состояния, которые содержат нечетное число электронов,  умножаются на -1, а с теми, где четное число электронов, ничего не происходит. Такое преобразование называется фермионная четность. Но это все-таки совершенно ненаблюдаемая вещь. все наблюдамые -  бозонные, а значит, с точки измеримых величин, фермионая четность неотличима от тождественного преобразования. (Иначе говоря, это калибровочное преобразование). Сам факт, впрочем, имеет наблюдяемые следствия: отсюда выводится, что любое фермионное состояние в системе с симметрией обращения времени должно быть двукратно вырождено. Это так называемся теорема Крамерса.

Но из общих принципов, вроде, не следует, что ТТ должно быть тождественным или фермионной четностью. Это может быть какое-нибудь еще преобразование симметрии S, сохраняющее направление времени. Скажем, конечного порядка N, так что S в степени N равно тождественному. Тогда само Т надо повторить 2N раз чтобы получить тождественное преобразование. Месяц назад, когда я делал доклад в Принстоне и упомянул эту возможность, Сайберг засомневался, что такое быват, особенно в релятивистской теории поля. Виттен меня поддержал, но никаких примеров ни он, ни я тогда не придумали. Хоть релятивистских, хоть каких. Пару дней назад я все -таки придумал такие примеры, для любого целого числа N. Довольно простые, и даже в принципе экспериментально реализуемые (многослойные системы с квантовым эффектом Холла). В таких системах имеет место обобщение теоремы Крамерса: состояния, неинвариантные по отношению к S, должны быть двукратно вырождены. Причем симметрия S уже не имеет отношения к фермионам.