leblon | (no subject)

Позарез надо сделать одно вычисление, но как только начинаю о нем думать, такая лень нападает... Суть задачи: рассмотрим касательное расслоение TP^1 к комплексной проективной прямой P^1. Тотальное пространство этого расслоения - это некомпактное комплексное многообразие кэлерового типа, с голоморфным действием группы SU(2). Возьмем какую-нибудь SU(2)-инвариантную кэлерову метрику на нем и будем искать L^2 формы на TP^1 которые аннигилируются оператором Дольбо и его сопряженным. Т.е. будем искать гармонические представители L^2 когомологий Дольбо.

(Конечно, результат зависит от поведения кэлоровой метрики на бесконечности. Заметим, что TP^1 может быть компактифицировано до взвешенной проективной плоскости WP(1,1,2) добавлением одной точки. Компактифицированное пространство имеет орбифолдную сингулярность в добавленной точке. Мы требуем, чтобы вблизи этой точки метрика была плоской.)

Чтобы решить эти уравнения, нужно использовать действие SU(2) и разложить пространство форм (фиксированной бистепени Ходжа) на неприводимые представления SU(2). Тогда все сведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, с божьей помощью, можно решить. На самом деле, мы ожидаем, что нетривиальные решения есть только в представлениях SU(2) с небольшим спином. К сожалению, заранее непонятно, какими спинами можно ограничиться, и разложение приходится делать в общем виде. Кошмар...