leblon | Topology with paper and scissors (Reply)

Век живи - век учись. Все мы знаем, что из полоски бумаги можно склеить лист Мебиуса. То есть, проективную плоскость с дыркой. Все также знают, что бутылку Клейна не только из бумаги не склеить, а и вообще в трехмерное пространство не вложить (без самопересечений). Но я только неделю назад задумался о том, можно ли склеить из бумаги бутылку Клейна с дырочкой. И как это проще всего сделать. И далее, можно ли склеить из бумаги поверхность, гомеоморфную проективной плоскости с "ручками" и одной дырочкой, или бутылке Клейна с "ручками" и одной дырочкой. Ответ удивительно простой и описан в книжке Болтянского и Ефремовича "Наглядная топология".

Более того, я как-то не задумывался раньше, как склеить из бумаги тор с дырочкой или сферу с ручками и дырочкой. Из резины их можно сделать даже без дырочки. Из бумаги - только если с дырочкой, потому что у бумаги внутренняя геометрия плоская, как ее ни мни. Например, хотя в принципе тор получается из квадрата отождествлением противоположных сторон, бумажный тор так склеить не получится. Для тора с дырочкой есть очень простой рецепт склейки: надо вырезать крестик и склеить противоположные стороны. Этот рецепт можно обобщить на поверхности с большим количеством ручек (например, крендель). Получается что-то вроде гирлянды из крестиков (хотя, возможно, это не самый экономный способ).