Гомологическая алгебра квантовых кодов

[leblon]

Ну, хватит о грустном, давайте об интересном. У меня два аспиранта сделали  интересную работу на стыке квантовой информации, статистической механики и коммутативной алгебры. Точнее, только один из них мой аспирант, другой приехал погостить на 3 месяца из Польши и сейчас уже опять там. Оба аспиранта скорее математики, чем физики. Поэтому деталей их работы, где используются всякие свойства  горенштейновых и Коэн-Маколеевских колец, я понять не в состоянии. Но с физической точки зрения дело там вот в чем.

1. Одна старая идея в области квантовой информации - это использовать для хранения и обработки информации stabilizer codes: такие системы кубитов, где информация кодируется в нелокальных корреляциях этих самых кубитов. Конкретнее, у нас есть кубиты расположенные в узлах кубической или квадратной решетки, с такими взаимодействиями, что основное состояние есть собственное состояние коммутирующих операторов. Причем каждый оператор имеет есть просто произведение нескольких матриц Паули действующих на конечное число находящихся по соседству кубитов, и имеет собственные значения 1 или -1. Можно считать, что основное состояние отвечает собственному значению 1 для всех этих операторов. Предполагается что основное состояние ("вакуум") это "обнуленный регистр". У такой системы кубитов могут быть как локальные возбужденные состояния, так и нелокальные (т.е. такие, которые нельзя создать применением N локальных операций, где N не растет с размером системы). Предлагается использовать для хранения логической информации как раз нелокальные возбуждения. При этом нелокальные возбуждения, которые отличаются на локальные, считаются тождественными (т.е. хранят ту же самую информацию). 

2. Задача такая: для данного кода понять, сколько у нас нелокальных возбуждений и какие у них свойства. Например, можно ли нелокальные возбуждения двигать туда-сюда используя локальные операции. Известно было, что на квадратной решетке все возбуждения "мобильные" и ведут себя как частицы, а на кубической решетке (т.е. в размерности 3) поведение таких кодов может быть очень сложным. Причем каждый код надо анализировать отдельно, чтобы понять, что там примерно происходит. Общих результатов не было. Но было известно, что входные данные для любого такого кода можно записать в виде "эрмитова" модуля над некой коммутативной алгеброй с инволюцией (а именно, над алгеброй полиномов Лорана с коэффициентами в поле из двух элементов) и "лагранжева" подмодуля в этом модуле. Эрмитова структура здесь понимается в том же смысле как в алгебраической К-теории. 

3. Аспиранты придумали, как применить методы коммутативной алгебры для анализа этих кодов. Например, они показали, что нелокальные возбуждения  образуют градуированный модуль, где градуировка физически соответствует размерности возбуждения (частицеподобные, струноподобные, и т.д.). Далее, возбуждения мобильны тогда и только тогда, когда модуль (или его градуированная компонента) имеет нулевую круллевскую размерность. Отсюда сразу следует, что для двумерных кодов все возбуждения мобильны. А для трехмерных кодов все струноподобные возбуждения мобильны (хотя частицеподобные не обязательно мобильны). Далее, они показали, что в случае, когда все возбуждения мобильны, на модуле возбуждений есть билинейная форма, которая описывает braiding. Эта форма, судя по всему, невырождена и связана с локальной дуальностью (а ля Гротендик). Но физически ожидается, что там не просто билинейная форма, а ее quadratic refinement. Наконец, они сильно обобщили задачу, рассмотрев коды, где на каждом узле решетке сидит не кубит, а произвольный набор quidits (аналог кубита, где число состояний не два, а произвольное натуральное число). Их методы работают для такого более общего класса кодов. 
 

Comments

[alexanderr]

если я правильно понял, то это способ сделать error correction. в квантовой системе все плохо, но если придумать некие коллективные состояния, переход между которыми невозможен или затруднен (т.е. не непрерывный спектр состояний, а некие сильно разные дискретные состояния), то они будут более устойчивы к неизбежным ошибкам. но тогда их нужно уметь отличать друг от друга, и от самих себя, нужна полная классификация. и наверное практический способ применения тоже? как создать нужное состояние, не возбудив соседние и как потом его правильно прочитать/идентифицировать за конечное время

когда привык к классической памяти, то конечно это все очень непривычно. классическая память невероятно проста. это заряд на конденсаторе (в пределе один электрон на совсем маленькой емкости), или квант магнитного потока в сквиде. маленький размер, легко считал/записал/долго хранится. а тут тем более квантовая информация, т.е. хранить не классический бит 1/0, а целое квантовое состояние.