Теория твердого тела и алгебраическая геометрия: продолжение сюжета

[leblon]

Теории квантового эффекта Холла (КЭХ)уже более 30 лет, но и там есть белые пятна. Например, не существует точно решаемых моделей дробного КЭХ. Лафлин, когда предложил объяснение дробного КЭХ, использовал взятые "с потолка" волновые функции, которые не являются основными состояниями никакого разумного гамильтониана. Для целочисленного КЭХ можно написать свободные (невзаимодействующие) модельные гамильтонианы, но и тут не все гладко. Например, в принципе целочисленный КЭХ может быть не только в фермионных, но и в бозонных системах, но никаких точно решаемых моделей для бозонов с такими свойствами так и не построено. Проблема в том, что любая модель бозонного КЭХ должна быть взаимодействующей. В общем, ситуацию можно суммировать так: неизвестно ни одной модели со взаимодействием, где можно теоретически (т.е. без приближенных вычислений на компьютере) продемонстрировать наличие КЭХ, хоть целого, хоть дробного.

С другой стороны, за последние 15 лет, физики научились строить большое количество точно решаемых решеточных гамильтонианов со взаимодействием. Это позволяет реализовать (в теории) огромное (бесконечное, на самом деле) количество топологических фаз квантовых систем. Главный класс примеров - это конструкция Левина-Вена (частный случай ее - торический код Китаева). Все эти модели решаемые по простой причине: гамильтониан это сумма "локальных" членов, которые все коммутируют между собой. В жизни такое бывает редко, зато такие модельные гамильтонианы дают кучу примеров очень нетривиальных топологических фаз. Тем не менее, моделй с дробным или целым КЭХ таким образом построить не удалось, и сложилось твердое убеждение, что это сделать невозможно.

Мы, наконец, доказали, что это в самом деле невозможно. Доказательство использует следующий математический факт, связанный с проблемой Серра: любое алгебраическое векторное расслоение на алгебраическом торе тривиально. Доказательство весьма простое и укладывается в пару страниц.