![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonПо большому счету, проблема тут в том, что физики не любят работать с бесконечными объектами. Они всегда стараются их рассматривать как предел конечных. Иногда это работает, а иногда не очень. Например, в стат. физике есть важное понятие: термодинамический предел, т.е. предел большого объема. Понятие "фазы вещества" строго определено только для бесконечных систем, но физики предпочитают рассматривать системы большого, конечного размера и считать все для них, а потом уже брать предел. Это хорошо работает для периодических систем, но для систем с беспорядком довольно трудно аккуратно определить предел большого объема. В самом деле, "взять в N раз большую систему" имеет четкий смысл, если наша система сделана из одинаковых "кирпичиков", но для неупорядоченных систем это не так.
Альтернативный подход в том, чтобы научиться работать с бесконечными системами, но при этом сфокусироваться на их макроскопических свойствах. Оказывается, математики придумали как это сделать используя понятие "coarse geometry."
Одна идея состоит в том, чтобы перейти от метрических пространств (например, от подмножеств евклидового пространства) к более грубым объектам, которые сохраняют информацию только о свойствах пространства "на бесконечности". Очень грубо говоря, мы ходим отождествить все точки, которые находятся на конечном расстоянии друг от друга. Технически это делается примерно таким же образом, как при переходе от топологических пространств к их гомотопическим типам: вводится понятие "coarsely equivalent maps of metric spaces", и "coarse equivalence of metric spaces". Например, периодическая решетка в n-мерном евклидовом пространстве грубо эквивалентна самому евклидовому пространству.
Другая идея в том, чтобы сопоставить метрическому пространству некую некоммутативную С* алгебру (Roe algebra, after John Roe who died of cancer last March at a fairly young age). Ее K_0 и K_1 оказываются инвариантами при замене метрического пространства на другое, ему грубо эквивалентное.
Применив эти идеи к электронам на случайной решетке, получаются очень интересные вещи. А именно, можно сопоставить любому бесщелевому гамильтониану класс в К-теории алгебры Роу, который определяет поведение края системы. Этот класс не меняется при любой локальной деформации решетки или самого гамильтониана, при условии что энергетическая щель сохраняется.
Альтернативный подход в том, чтобы научиться работать с бесконечными системами, но при этом сфокусироваться на их макроскопических свойствах. Оказывается, математики придумали как это сделать используя понятие "coarse geometry."
Одна идея состоит в том, чтобы перейти от метрических пространств (например, от подмножеств евклидового пространства) к более грубым объектам, которые сохраняют информацию только о свойствах пространства "на бесконечности". Очень грубо говоря, мы ходим отождествить все точки, которые находятся на конечном расстоянии друг от друга. Технически это делается примерно таким же образом, как при переходе от топологических пространств к их гомотопическим типам: вводится понятие "coarsely equivalent maps of metric spaces", и "coarse equivalence of metric spaces". Например, периодическая решетка в n-мерном евклидовом пространстве грубо эквивалентна самому евклидовому пространству.
Другая идея в том, чтобы сопоставить метрическому пространству некую некоммутативную С* алгебру (Roe algebra, after John Roe who died of cancer last March at a fairly young age). Ее K_0 и K_1 оказываются инвариантами при замене метрического пространства на другое, ему грубо эквивалентное.
Применив эти идеи к электронам на случайной решетке, получаются очень интересные вещи. А именно, можно сопоставить любому бесщелевому гамильтониану класс в К-теории алгебры Роу, который определяет поведение края системы. Этот класс не меняется при любой локальной деформации решетки или самого гамильтониана, при условии что энергетическая щель сохраняется.
