К-теория и физика твердого тела
Aug. 19th, 2018 10:07 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonКак известно, в теории C* алгебр строят два очень полезных инварианта таких алгебр: K_0 и K_1. Это такие коммутативные группы, которые содержат в себе некую грубую информацию о представлениях алгебры.
В физике твердого тела есть несколько интересных применений этой теории.
(1) Возьмем простейшую модель электронов в кристалле: свободные электроны прыгают по периодической решетке. Гамильтониан такой системы - это функция на торе (пространстве квазиимпульсов) со значениями в эрмитовых матрицах. Если спектр имеет щель на уровне Ферми, то по этой матрице можно построить проектор на состояния с отрицательной энергией. Это тоже функция со значениями в матрицах, и ей сопоставляется класс в К_0 алгебры непрерывных функций на торе. Этот класс содержит очень много полезной информации о поведении системы (в частности, есть ли на границе бесщелевые состояния, и если есть, то какие: это нам говорят теоремы об индексе для операторов Теплица). Если в системе есть дополнительные симметрии, появляются также К_1 и эквивариантные версии K_0.
(2) Теперь добавим примеси в кристалл, но так, что вероятность примеси быть в каком-либо узле решетки не зависит от положения узла. Тогда трансляционная инвариантность нарушена, но сохраняется "в среднем". Гамильтониан теперь - функция на торе со случайными коэффициентами. Оказывается, при определенных условиях ему тоже можно сопоставить класс в К_0. Алгебра теперь другая, но при определенных условиях (выпуклость пространства случайных конфигураций) гомотопически эквивалентна алгебре функций на торе, так что K_0 не меняется. Поэтому при добавлении примесей физика меняется несильно (появляются локализованные состояния, но они не влияют на макроскопические свойства системы). Например, Беллиссар таким образом объяснил квантование проводимости Холла в присутствии беспорядка.
(3) А можно ли что-то сказать про конкретную систему электронов в присутствии примесей, когда никакой трансляционной симметрии нет? Т.е. не усреднять по беспорядку (тем более, какая там вероятностная мера никому неизвестно). Да и решетки тогда нет: просто бесконечный набор специальных точек в пространстве, по которым прыгают электроны. Казалось бы, тогда результаты будут зависеть от конкретной решетки и гамильтониана. Но если смотреть макроскопически, то можно ли что то сказать? Например, есть ли у системы ненулевая проводимость Холла, и квантуется ли она? Оказывается, ответ положительный, и использует две красивые идеи: "некоммутативная геометрия" и "грубая геометрия" (coarse geometry).
Продолжение следует.
В физике твердого тела есть несколько интересных применений этой теории.
(1) Возьмем простейшую модель электронов в кристалле: свободные электроны прыгают по периодической решетке. Гамильтониан такой системы - это функция на торе (пространстве квазиимпульсов) со значениями в эрмитовых матрицах. Если спектр имеет щель на уровне Ферми, то по этой матрице можно построить проектор на состояния с отрицательной энергией. Это тоже функция со значениями в матрицах, и ей сопоставляется класс в К_0 алгебры непрерывных функций на торе. Этот класс содержит очень много полезной информации о поведении системы (в частности, есть ли на границе бесщелевые состояния, и если есть, то какие: это нам говорят теоремы об индексе для операторов Теплица). Если в системе есть дополнительные симметрии, появляются также К_1 и эквивариантные версии K_0.
(2) Теперь добавим примеси в кристалл, но так, что вероятность примеси быть в каком-либо узле решетки не зависит от положения узла. Тогда трансляционная инвариантность нарушена, но сохраняется "в среднем". Гамильтониан теперь - функция на торе со случайными коэффициентами. Оказывается, при определенных условиях ему тоже можно сопоставить класс в К_0. Алгебра теперь другая, но при определенных условиях (выпуклость пространства случайных конфигураций) гомотопически эквивалентна алгебре функций на торе, так что K_0 не меняется. Поэтому при добавлении примесей физика меняется несильно (появляются локализованные состояния, но они не влияют на макроскопические свойства системы). Например, Беллиссар таким образом объяснил квантование проводимости Холла в присутствии беспорядка.
(3) А можно ли что-то сказать про конкретную систему электронов в присутствии примесей, когда никакой трансляционной симметрии нет? Т.е. не усреднять по беспорядку (тем более, какая там вероятностная мера никому неизвестно). Да и решетки тогда нет: просто бесконечный набор специальных точек в пространстве, по которым прыгают электроны. Казалось бы, тогда результаты будут зависеть от конкретной решетки и гамильтониана. Но если смотреть макроскопически, то можно ли что то сказать? Например, есть ли у системы ненулевая проводимость Холла, и квантуется ли она? Оказывается, ответ положительный, и использует две красивые идеи: "некоммутативная геометрия" и "грубая геометрия" (coarse geometry).
Продолжение следует.
