Око за Ока
Jun. 10th, 2018 10:02 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonНедавно узнал от Китаева следующую задачу про топологические изоляторы (ТИ). Изоляторы это такие материалы, в которых энергетические зоны делятся на валентные и зоны проводимости. Т.е. каждая энергетическая зона при нулевой температуре либо целиком заполнена электронами, либо пуста. В результате между верхней заполненной (валентной) зоной и нижней незаполненной есть зазор (щель). В ТИ эта щель тоже есть, но на границе материала она зануляется, и там живут "бесщелевые" квазичастицы. Т.е. ТИ является проводником "на поверхности". Причем наличие этих бесщелевых квазичастиц объясняется неким топологическим фактом (вариантом теоремы об индексе). Задача такая: может ли корреляционная длина ТИ быть строго равна нулю (вдали от границы, т.е. в бесконечном материале).
В релятивистской КТП так не бывает: релятивистская симметрия говорит нам, что корреляционная длина это просто единица поделить на энергетическую щель. И если щель не бесконечно велика, то корреляционная длина не равна нулю. Но в моделях кристаллов такое быть может. Вопрос в том, может ли такое быть в ТИ. Самый простой тип ТИ - это т.н. изоляторы Черна. Топологический инвариант отличающий их от обычных изоляторов - это классы Черна некоего векторного расслоения над пространством импульсов (зоной Бриллюэна). Слой этого расслоения это волновые функции электрона из валентной зоны. T.e.вопрос такой: может ли функция Грина для ТИ спадать быстрее любой экспоненты, если хоть какие нибудь классы Черна не равны нулю?
Неожиданным образом, ответ на этот вопрос оказывается связан с т.н. принципом Ока из комплексно-аналитической геометрии. Этот Ока (японский математик) показал, что для некоторого типа задач топологическое решение существует тогда и только тогда, когда есть голоморфное решение. Пример: классификация векторных расслоений над т.н. многообразиями Штейна. Можно это делать для топологических расслоений, а можно для голоморфных, но ответ тот же самый! Однако, для применения к физике надо знать "конструктивную" форму принципа Ока. Например, пусть у нас есть голоморфное расслоение на комплексификации двумерного тора, и мы знаем, что первый класс Черна равен нулю. Это значит, что расслоение топологически тривиально, и значит у него есть и голоморфная тривиализация. К сожалению Ока не говорит нам, как ее найти.
Вот упрощенный вариант задачи, которую при этом приходится решать. Пусть у нас есть пара голоморфных на всей плоскости функций f и g у которых нет общих нулей, а у нулей нет точек накопления. Тогда существуют голомофные функции A и B такие, что Af+Bg=1. Это т.н. лемма Веддерберна. Доказательство ее вполне конструктивно и основывается на очень милой теореме Миттаг-Леффлера о построении мероморфной функции с заданными сингулярностями. Но даже для сравнительно простых f и g, я не умею выписывать функции A и B в разумном виде. Ну, конечно если f и g это синус и косинус, то кто такие A и B всем понятно. Следующий по сложности пример - это когда f и g это тета функции. Вот тут я уже потерялся.
Так или иначе, ответ на вопрос, заданный Китаевым, связан к такими интересными результатам, как задача Серра о проективных модулях над алгеброй полиномов (решена Квилленом и Суслиным) и ее обобщения. Кто бы мог подумать.
В релятивистской КТП так не бывает: релятивистская симметрия говорит нам, что корреляционная длина это просто единица поделить на энергетическую щель. И если щель не бесконечно велика, то корреляционная длина не равна нулю. Но в моделях кристаллов такое быть может. Вопрос в том, может ли такое быть в ТИ. Самый простой тип ТИ - это т.н. изоляторы Черна. Топологический инвариант отличающий их от обычных изоляторов - это классы Черна некоего векторного расслоения над пространством импульсов (зоной Бриллюэна). Слой этого расслоения это волновые функции электрона из валентной зоны. T.e.вопрос такой: может ли функция Грина для ТИ спадать быстрее любой экспоненты, если хоть какие нибудь классы Черна не равны нулю?
Неожиданным образом, ответ на этот вопрос оказывается связан с т.н. принципом Ока из комплексно-аналитической геометрии. Этот Ока (японский математик) показал, что для некоторого типа задач топологическое решение существует тогда и только тогда, когда есть голоморфное решение. Пример: классификация векторных расслоений над т.н. многообразиями Штейна. Можно это делать для топологических расслоений, а можно для голоморфных, но ответ тот же самый! Однако, для применения к физике надо знать "конструктивную" форму принципа Ока. Например, пусть у нас есть голоморфное расслоение на комплексификации двумерного тора, и мы знаем, что первый класс Черна равен нулю. Это значит, что расслоение топологически тривиально, и значит у него есть и голоморфная тривиализация. К сожалению Ока не говорит нам, как ее найти.
Вот упрощенный вариант задачи, которую при этом приходится решать. Пусть у нас есть пара голоморфных на всей плоскости функций f и g у которых нет общих нулей, а у нулей нет точек накопления. Тогда существуют голомофные функции A и B такие, что Af+Bg=1. Это т.н. лемма Веддерберна. Доказательство ее вполне конструктивно и основывается на очень милой теореме Миттаг-Леффлера о построении мероморфной функции с заданными сингулярностями. Но даже для сравнительно простых f и g, я не умею выписывать функции A и B в разумном виде. Ну, конечно если f и g это синус и косинус, то кто такие A и B всем понятно. Следующий по сложности пример - это когда f и g это тета функции. Вот тут я уже потерялся.
Так или иначе, ответ на вопрос, заданный Китаевым, связан к такими интересными результатам, как задача Серра о проективных модулях над алгеброй полиномов (решена Квилленом и Суслиным) и ее обобщения. Кто бы мог подумать.
