![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
leblonРазница между бозонными и фермионными системами в том, что в фермионных системах понятие "локальных" переменных понимается иначе. А именно, локальные переменные в разных точках могут как коммутировать, так и антикоммутировать. С одной стороны, это означает, что бозонные системы - это подкласс фермионных. С другой стороны, если мы рассматриваем бозонную систему как фермионную, то позволяем более широкий класс "деформаций". Поэтому задача классификации фермионных систем с точностью до эквивалентности не сводится к аналогичной бозонной задаче, и наоборот.
Каков же аналог утверждения, что бозонные системы соответствуют TQFT? Гипотеза: они соответствуют TQFT со спиновой структурой. Спиновая структура - это то, что нужно для определения оператора Дирака на многообразии. Спиновая TQFT тоже требует задания такой структуры на пространстве-времени (в то время как обычная TQFT требует только ориентации). Совершенно неочевидно, каков правильный аналог спиновой структуры для систем на решетке. Алгебраическая классификация спиновых TQFT тоже пока не создана. Мы, однако, предъявили большой класс спиновых TQFT в двух пространственных измерениях, которые, гипотетически, исчерпывают все спиновые TQFT с нулевой холловской теплопроводностью. Т.е. мы предъявили фермионный аналог полупростой тензорной категории и фермионный аналог конструкций Тураева-Виро и Левина-Вена. При этом ясно видно, откуда возникает зависимость от спиновой структуры в гамильтониане фермионной системы: из за отсутствия естественного порядка на вершинах решетки, где живут фермионные переменные. В качестве приложения, мы классифицировали двумерные фермионные фазы материи с конечной группой симметрий и "незапутанным" основным состоянием (т. н. Symmetry Protected Topological Phases of interacting fermions).
С математической точки зрения, нам пришлось придумать комбинаторное определение спиновой структуры на триангулированном многообразии. До сих пор такое определение существовало только в размерности 2 (через ориентации Кастеляйна), причем в виде, который не позволял обобщение на высшие размерности. Классификация же фермионных фаз материи с незапутанным основным состоянием дает явное комбинаторное построение G-эквивариантных кобордизмов трехмерных спиновых многообразий, для любой конечной группы G. Тут весьма неочевидным является факт, что есть естественный класс универальности фермионных систем для каждого элемента группы эквивариантных кобордизмов (я ранее высказывал это как гипотезу).
Каков же аналог утверждения, что бозонные системы соответствуют TQFT? Гипотеза: они соответствуют TQFT со спиновой структурой. Спиновая структура - это то, что нужно для определения оператора Дирака на многообразии. Спиновая TQFT тоже требует задания такой структуры на пространстве-времени (в то время как обычная TQFT требует только ориентации). Совершенно неочевидно, каков правильный аналог спиновой структуры для систем на решетке. Алгебраическая классификация спиновых TQFT тоже пока не создана. Мы, однако, предъявили большой класс спиновых TQFT в двух пространственных измерениях, которые, гипотетически, исчерпывают все спиновые TQFT с нулевой холловской теплопроводностью. Т.е. мы предъявили фермионный аналог полупростой тензорной категории и фермионный аналог конструкций Тураева-Виро и Левина-Вена. При этом ясно видно, откуда возникает зависимость от спиновой структуры в гамильтониане фермионной системы: из за отсутствия естественного порядка на вершинах решетки, где живут фермионные переменные. В качестве приложения, мы классифицировали двумерные фермионные фазы материи с конечной группой симметрий и "незапутанным" основным состоянием (т. н. Symmetry Protected Topological Phases of interacting fermions).
С математической точки зрения, нам пришлось придумать комбинаторное определение спиновой структуры на триангулированном многообразии. До сих пор такое определение существовало только в размерности 2 (через ориентации Кастеляйна), причем в виде, который не позволял обобщение на высшие размерности. Классификация же фермионных фаз материи с незапутанным основным состоянием дает явное комбинаторное построение G-эквивариантных кобордизмов трехмерных спиновых многообразий, для любой конечной группы G. Тут весьма неочевидным является факт, что есть естественный класс универальности фермионных систем для каждого элемента группы эквивариантных кобордизмов (я ранее высказывал это как гипотезу).
