Топологические фазы взаимодействующих частиц, ч. 2

[leblon]

Оказывается, не для всех модулярных тензорных категорий можно найти "простой" (в вышеописанном смысле) гамильтониан. Простейшее препятствие - это т.н. центральный заряд МТК (некое рациональное число по модулю 8). С физической точки зрения, центральный заряд определяется поведением холловской теплопроводности нашего материала при низких температурах. Обычная теплопроводность - это когда поток тепла течет против градиента температуры, пытаясь нагреть холодное и остудить горячее. Энтропия при этом возрастает. Холловская теплопроводность - это когда тепло течет перпендикулярно градиенту температуры. Энтропия от этого не меняется, потому что холодное остается холодным. При низких температурах холловская теплопроводность стремится к нулю, пропорционально квадрату температуры. Коэффициент пропорциональности и есть тот самый центральный заряд. Если он не ноль, то по границе материала идет поток энергии даже безо всякого градиента температуры, и гамильтониан "простого" типа это воспроизвести не может в принципе. Поэтому для МТК с ненулевым центральным зарядом "простого" гамильтониана ожидать не приходится.

Даже если центральный заряд зануляется, это не гарантирует существование "простого" гамильтониана. На самом деле, можно показать, что "простой" гамильтониан бывает только если на границе материала тоже есть энергетическая щель. В этом случае МТК тоже имеет особенно простой вид: это дубль Дринфельда полупростой тензорной категории. Естественно ограничиться именно такими МТК. Тогда действительно можно написать вполне явный интегрируемый гамильтониан, реализующий класс универсальности этой МТК. Это известно в математической литературе как конструкция Тураева-Виро, а в физической - как конструкция Левина-Вена.

Это все была история про "бозонные" гамильтонианы. А что там с фермионными? И почему вообще есть разница между бозонным и фермионным случаями? (продолжение следует).

Comments

[sasha-br.livejournal.com]

A в каком смысле "Естественно ограничиться именно такими МТК"?
И что именно называешь дублем (разрешается ли нетривиальный коцикл?)

[leblon.livejournal.com]

(1) В смысле, что для МТК с ненулевым центральным зарядом (или даже ненулевым классом в группе Витта) гамильтониан заведомо должен быть более сложным (в частности, он должен оперировать в бесконечномерном гильбертовом пространстве, даже если физическая система компактна).

(2) Под дублем Дринфельда я имел в виду центр Дринфельда тензорной категории. Обычный дубль Дринфельда получается если взять тензорную категорию G-градуированных векторных пространств с ассоциатором задаваемым 3-коциклом. Это, конечно, разрешается.

[sasha-br.livejournal.com]

А, ок, понял.