Популярное про уравнение Шредингера (для настенной росписи, изображающей уравнения мат. физики)

[leblon]

The Schroedinger equation was discovered by Erwin Schroedinger in 1925, soon after the creation of matrix quantum mechanics by Werner Heisenberg and Max Born. It describes the evolution of the quantum state Psi of a physical system with time. In this equation, H is a linear operator on the space of state called the Hamiltonian. The amazing thing about the Schroedinger equation that it is absolutely universal: evolution of any system, from atoms to the whole Universe, obeys this equation, provided one chooses the right H. In the original paper Schroedinger wrote down a concrete form of his equation suitable for describing a single particle, but it was quickly realized that its abstract form is completely general. The Schroedinger equation can be simultaneously described as one of the deepest laws of Nature, a tautology, and a mystery. It is a deep law since it encapsulates the relation between the homogeneity of time and conservation of energy. This principle is a special case of Noether theorem which says that conservation laws are related symmetries of equations of motion, and it valid in both classical and quantum theories. It is a tautology because it is more or less equivalent to the statement that time evolution is represented by a unitary operator, and unitary transformations are the most general transformations of the wave-function which are compatible with its probabilistic interpretation. That is, the Schroedinger equation is forced on us by the requirement that the sum of probabilities of all possible outcomes is always one, for all times. The Schroedinger equation is a mystery, because it allows and even forces normal-looking states to evolve into strange states which contradict our intuition, such as the Schroedinger cat state which describes a cat in a closed box which is neither alive nor dead.

Comments

[gineer.livejournal.com]

good

[duchifat.livejournal.com]

It is a deep law since it encapsulates the relation between the homogeneity of time and conservation of energy. This principle is a special case of Noether theorem which says that conservation laws are related symmetries of equations of motion, and it valid in both classical and quantum theories. It is a tautology because it is more or less equivalent to the statement that time evolution is represented by a unitary operator, and unitary transformations are the most general transformations of the wave-function which are compatible with its probabilistic interpretation. That is, the Schroedinger equation is forced on us by the requirement that the sum of probabilities of all possible outcomes is always one, for all times.

Что значит "more or less equivalent"? Уравнение Шредингера выводится логически из требования равенства суммы вероятностей единице? Или нет? Оно не является фальсифицируемым законом природы? Или это зависит от того, откуда берутся гамильтонианы в уравнении?

И про связь с теоремой Нетер тоже не все понятно. По теоремe Нетер, из независимости формы лагранжиана (и гамильтониана) от времени следует существование сохраняющегося интеграла движения -- энергии. А ур-е Ш-ра какое имеет к этому отношение логически?

[leblon.livejournal.com]

Если предположить, что волновые функции в разные моменты времени связаны линейным преобразованием, и если предположить, что полная вероятность "сохраняется" (т.е. если сумма всех вероятностей равна единице в начале, то она равна единице и в конце), то отсюда следует, что преобразование унитарно или анти-унитарно. Далее, если время непрерывно, то преобразование обязано быть унитарным (а не анти-унитарным), а значит инфинитезимальный оператор эволюции дается эрмитовым оператором. Это утверждение и есть уравнение Шредингера.

В квантовом варианте теоремы Нетер, из однородности времени вытекает независимость гамильтониана от времени. А тогда легко видеть, что собственные функции гамильтониана являются также собственными функциями оператора эволюции. Т.е. энергия сохраняется.

[vvetterr.livejournal.com]

В первом томе Green Schwarz Witten утверждается, что уравнение связи для релятивистской частицы, становится уравнением Клейна-Гордона после квантования, и является "уравнением Шредингера" для в.ф. этой частицы. Связь берется из-за репараметризационной инвариантости(РИ) действия. Теперь малоизвестный факт. Перейдем к нерелятивистскому пределу, сохраняя РИ, тогда связь редуцируется в уравнение, которое после квантования становится обычным УШ (первого порядка по t) и является "уравнением Шредингера" для в.ф. нерелятивистской частицы. Таким образом, в обоих случаях УШ есть просто следствие РИ и процедуры квантования.

Take it easy

[vk-physics.livejournal.com]

"...the Schroedinger equation ... is absolutely universal: evolution of any system, from atoms to the whole Universe, obeys this equation, provided one chooses the right H."

Тут есть преувеличение. Что бы так утверждать о целой Вселенной, надо бы получить решения, согласующиеся с экспериментом. Ни то, ни другое не было сделано и не может быть сделано.

Даже для атома водорода УШ использует граничные условия (часто просто подразумевающиеся), а они есть упрощенные решения УШ, включающие в себя специфическое воздействие "стенок" или окружения. То есть, граничные условия, не являющиеся Гамильтонианом, являются чем-то внешним по отношению к уравнению. Иначе говоря, не факт, что для всей Вселенной можно написать УШ без граничных условий. В определенном смысле, граничные условия можно рассматривать как источник волны, которая без источника не бывает ;-)