Nobel prize in physics 2016, part 1

Дали троим, за теоретические работы в области твердого тела: Костерлиц, Таулесс и Холдейн. Из них активен в науке только Холдейн (он самый молодой их них, 1951 года рождения). Все трое британцы, но давно работают в США. Наградили за несколько разных и малосвязанных между собой работ. Но все они каким то образом звязаны с топологией, так что можно сказать, что дали за "топологические эффекты в теории твердого тела". Первая работа  принадлежит Костерлицу и Таулессу (1973). Она, в свою очередь, развивает важнное наблюдение Березинского (1971). Ранее, в 50е и 60е годы, было доказано, что упорядоченные состояния вещества, вроде кристалла или ферромагнетика, воможны только если размерность пространства 3 или больше. Конечно, на практике больше 3х не бывает, а меньше бывает. Например, если у нас тонкая пленка атомов на поверхности чего -то, то это двумерная система. А если цепочка атомов - то одномерная. Так вот, в любой размерности такое упорядоченное состояние разрушается ("плавится") при достаточно высокой температуре. Кристалл переходит в жидкость, ферромагнетик становтся парамагнетиком, сверхтекучая жидкость (там дальний порядок "упорядочивает" квантовомеханическую фазу волновой функции частиц) становится нормальной. Но в размерности 2 и ниже такое плавление происходит при любой температуре выше нуля. Почему - см. книгу Пайерлса "Сюрпризы в теоретической физике", там на пальцах объясняется. Березинский, однако, обнаружил удивительный результат: в размерности 2 и в некoтором классе систем,  при достаточно низкой температуре корреляции между атомами спадают как степень расстояния. А при высоких температурах  -  экспоненциально. Значит, есть все-таки две фазы, а при какой-то ненулевой температуре происходит переход из низкотемпературной в высокотемпературную. Костерлиц и Таулесс поняли механизм этого перехода: рождение в большм количестве т.н.вихрей. Существование этих вихрей связано с топологией того, что именно упорядоченно. Например, если мы имеем дело со спинами, которые (по энергетическим причинам) лежат в одной плоскости, то ориентацию такого спина можно описать точкой на окружности. Окружность имеет нетривиальную "фундаментальную группу", и отсюда вытекает существование вихрей. А вот если спин может быть ориентирован в любом направлении, то вместо окружности у нас сфера. У нее фундаментальная группа тривиальна, поэтому никаких вихрей нет. Так вот, если вихри существуют, то их количество зависит от температуры. При достаточно высокой температуре их становится так много, что все корреляции между спинами разушаются. (Вопрос о том, что будет, если вихрей нет по топологическим причинам, мы тут обсуждать не будем). Это и есть переход Березинского-Костерлица-Таулесса. К сожалению Березинский умер в 1980 году, иначе он мог бы разделить премию с КТ.

Существование перехода БКТ подтверждено эксперментально, но еще важнее то, какое влияние открытие вихрек оказало на теорфизику. Это был первый пример того как топология, и более конкретно топологические солитоны, могут влиять на физику системы. Вихри БКТ - это двумерные аналоги инстантонов в теории калибровочных полей. Всего через пару лет было осознано, какую важную роль они играют в теории элементарных частиц. Потом стало ясно, что и в твердом теле всевозможные топологические солитоны и инстантоны появляются на каждом шагу. В общем, это было начало проникновения топологии в физику. (Продолжение следует). 

Nobel prize in physics 2016, part 2

Вторая работа Таулесса, которая упоминается в описании награды, - это работа (с тремя соавторами) о квантовании холловской проводимости. Эффект Холла - это когда часть электрического тока течет перепендикулярно напряжению. Эксперимент показывает, что в некоторых двумерных электронных системах в сильном перпендикулярном магнитном поле и при низкой температуре холловская проводимость (плотность холловского тока поделить на электрическое поле) квантуется с чудовищной точностью. Т.е. эта величина в целое число раз больше нкоторого "кванта проводимости". Это называется Квантовый Эффект Холла (КЭХ). Лафлин (1981) объяснил это квантование очень простыми и красивыми физическими аргументами, в предположении, что основное состояние системы невырождено (т.е. единственно) и отделено энергетической щелью  от возбужденных состояний. Однако оставалось неясным, каков "микроскопический" смысл этого самого целого числа. Таулесс и др. выяснили этот вопрос в важном специальном случае: когда электроны между собой не взаимодействуют (или слабо взаимодействуют) и движутся в идеальном кристалле. Симметрия кристаллической решетки по отошению к сдвигам означает, что волновая функция электрона есть функция квазиимпулься. Квазиимпульс, в отличие от импулься, это не вектор, а точка на торе. В двумерном случае, тор- это поверхность бублика. Таким образом, волновая функция электрона это функция на торе. Но эта фунцкия многозначная, а еще точнее  "сечение линейного расслоения над тором". Т.е. у нас есть семейство "комплексных прямых" (т.е. комплексных векторных пространств размерности один) параметризованное точками на торе, а волновая фунцкия выбирает точку в каждой из этих прямых. Математики нам говорят, что у линейного расслоения на торе есть топологический инвариант: 1е число Черна. Это целое число, которое можно сопоставить каждому такому семейству прямых. Таулесс и ко. показали, что целое число Лафлина это просто сумма чисел Черна для всех заполненных зон (они же валентные зоны). В отсутствие магнитного поля эти числа Черна обычно равны нулю для всех зон.

Это очень элегантный результат, но сам по себе на нобелевку не тянет. Например, потому, что в реальных системах, где наблюдался КЭХ, кристаллическая симметрия сильно нарушена всякими примесями, да и эффекты межэлектронных взаимодействий велики. Точка там была поставлена недавно, другими людьми. Но в 1988 году Холдейн заметил, что ненулевой класс Черна может иметь место и безо всякого магнитного поля. Нужно только нарушить симметрию обращения времени. Он построил модели фермионов, прыгающих на решетке, с ненулевым классом Черна и следовательно с КЭХ бзо всякого магнитного поля. Теперь такие системы называют "изоляторы Черна". Это простейший пример топологических изоляторов. В 2013 году изоляторы Черна, наконец, были обнаружены экспериментально.

[Следующий абзац неправильный: работа Берри появилась только в 1984 году, хотя "фаза Берри" была известна оптикам еще в 50х годах. Спасибоflying_bear за поправку. Так что ничего удивительного нет.]

Вообще удивительно, что изоляторы Черна были открыты теоретически только в 1988 году. Еще в 60х годах Майкл Берри обратил внимание физиков на то, что волновые функции, получающиеся решением уравнения Шредингера, - это не функции, а сечения некоего расслоения над пространством параметров (в данном случае, над пространством квазиимпульсов). В этом расслоении есть естественная связность (связность Берри), и интеграл от ее кривизны - это и есть число Черна. Т.е. совершеннп очевидно, что у каждой электронной зоны в кристалле есть такой целочисленный инвариант, и естественно было бы поинтересоваться, в чем он проявляется экспериментально. Я вижу как минимум две причины, почему это не было осознано раньше. (1) Берри был матфизиком, а не твердотельщиком. Твердотельщики его работ не читали. Идеи Берри были сначала использованы в оптике, а уж потом проникли в другие области. (2) Физики любят предполагать, что симметрия обращения времени не нарушена (в отсутствие магнитного поля). См. например Ландау-Лифшица, где это предположение делается направо и налево. А тогда число Черна развно нулю.  (Продолжение следует).

Nobel prize in physics 2016, part 3

Последняя тема, которую упоминает нобелевский комитет, - это работы Холдейна о цепочках спинов с антиферромагнитным взаимодействием. В таких цепочках соседние спины хотят быть направлены в противоположные стороны, но при ненулевой температуре антиферромагнитного порядка не получается из-за тепловых флуктуаций (опять теорема Мермина-Вагнера). А что при нулевой температуре? Тогда важны квантовые флуктуациi, и результат зависит от того, могут ли спины свободно вращаться во всех трех направлениях или нет. Допустим, могут. Тогда спин может быть либо целым, либо полуцелым. Не влезая в дебри, можно сразу сказать, что дальнего порядка все равно не будет, даже при нулевой температуре (это версия той же теоремы Мермина-Вагнера, в этом контексте также известной как теорема Коулмена). Но мы теперь научены опытом, и знаем, что этим вопрос не исчерпывается. Надо еще понять, как спадают корреляции с расстоянием: как степень расстояния или экспоненциально?

Простейший случай - это случай спина 1/2. Даже в этом случае задача не такая простая, нужны специальные методы (анзац Бете, того самого Бете, который Ханс и который участвовал в Манхэттенском проекте). Получается, что корреляции спадают как степень расстояния. Что будет, если спин больше 1/2, - непонятно. В 1983 году Холдейн решил посмотреть на эту же задачу с точки зрения теории поля. Т.е. предложил заменить цепочку спинов на непрерывную одномерную систему. Строго говоря, теория поля применима только в пределе большого спина, но давайте не будем придираться. Наивный теоретикополевой подход дает очень интересную теорию поля которая активно изучалась в качестве упрощенной модели конфайнмента (там тоже есть асимптотическая свобода и инстантоны). Было уже известно, что в этой модели квантовые флуктуаций на больших расстояниях очень сильны, и корреляции спадают экспоненциально.  А как же строгий результат для спина 1/2? Холдейн показал, что наивная теория поля правильно отражает физику только для целых спинов, а для полуцелых спинов  ее надо модифицировать. Интересно, что эта модификация никак не меняет классическую физику этой модели. Более того, она никак не влияет на квантовомеханическую теорию возмущений. Тем не менее, эффект этой модификации радикально меняет поведение системы  на больших расстояниях! (Точнее, Холдейн это предложил, но не доказал. Доказано это было позднее). Так или иначе, вывод такой: в цепочках целых спинов корреляции спадают экспоненциально.. В дальнейшем этот сюжет получил развитие. Оказалось, что хотя цепочка сделана из целых спинов, она может вести себя так, как будто на ее концах живут полуцелые спины! Это так называмая фаза Холдейна. Намного позже Китаев придумал фермионный аналог фазы Холдейна: одномерная система, ведущая себя так, как будто на каждом конце сидит по полфермиона! Полфермиона  известен также как майорановский фермион. Этот сюжет связан с топологическими изоляторами и с предложением Китаева делать квантовый компьютер из топологических фаз вещества.