Топологические фазы взаимодействующих частиц, ч. 1

Закончил длинную статью про топологические фазы взаимодействующих фермионов в двух измерениях. Предыстория там такая. Как стало понятно после открытия дробного квантового эффекта Холла, существует много разных типов квантовых многочастичных систем со щелью в энергетическом спектре. Системы принадлежат разным типам, если их нельзя продеформировать друг в друга не закрывая щель, даже если позволить добавлять "примеси" (т.е. локализованные степени свободы). Тогда же возник вопрос о том, возможно ли как-то классифицировать эти типы (т.е. фазы материи с энергетической щелью). Задача эта весьма нетривиальна уже для двумерных систем (т.е. два пространственных измерения). Для систем из бозонов есть разумный ответ, если предположить, что макроскопические свойства таких систем описываются топологической теорией поля. Топологические теории поля в 2х пространственных измерениях описываются модулярными тензорными категориями. Данные, описывающие такую категорию, - это конечный набор комплексных чисел, удовлетворяющих системе полиномиальных уравнений, с точностью до некоего отношения эквивалентности. Для любого фиксированного числа типов "квазичастиц" N, решение этих уравнений - это конечная задача. Хорошо бы, конечно, описать все решения для всех N, но это выглядит довольно безнадежно. В общем, ответ в какой-то форме есть. Желательно, конечно, обосновать гипотезу про связь фаз материи с топологической теорией поля. Это - открытый вопрос.

Можно подойти к вопросу с обратной стороны. Вот дали вам в руки модулярную тензорную категорию (МТК). Можно ли привести пример квантовой системы со щелью в классе универсальности этой МТК? Т.е. предъявить какой нибудь "простенький" гамильтониан, описывающий такую систему. Тут, конечно, возникает вопрос о том, что мы считаем простым. В идеале, хорошо бы иметь дискретную двумерную систему, т.е. граф на плоскости, где на вершинах и ребрах живут "спины" (т.е. квантовые системы конечной размерности), а взаимодействия имеют конечный радиус. Хорошо бы еще гамильтониан был интегрируемым, т.е. чтобы спектр энергий и все собственные значения можно было найти. Ну или хотя бы квазиинтегрируемым, т.е. чтобы основное состояние можно было найти, и доказать,что энергетическая щель ограничена снизу положительным числом. (продолжение следует)