Integrability for almost complex structures

[leblon]

Пусть у нас есть почти-комплексная структура на многообразии. Если никакой другой структуры нету, то есть единственное очевидное условие интегрируемости на нее. Допустим теперь у нас есть связность на касательном расслоении (возможно, с кручением). Тогда можно определить "ковариантный" коммутатор векторных полей через коммутатор соответствующих им ковариантных производных. Если у связности есть кручение, то этот коммутатор отличается от обычного. Можно теперь попробовать определить интегрируемость почти-комплексной структуры используя этот новый коммутатор. Например, если почти-комплексная структура была ковариантно постоянна, то она интегрируема в этом новом смысле.

Вопрос: такие "интегрируемые" структуры появлялись где-нибудь и имеют ли они общепринятое название?

Comments

[roma.livejournal.com]

А бывают ли нетривиальные примеры, когда почти комплексная структура ковариантно интегрируема, но не интегрируема?

[поскольку с кошинусом уже опозорился, то мотивация думать прежде чем говорить совсем пропала].

[leblon.livejournal.com]

Я не совсем уверен. Но можно попробовать такой пример. Пусть наше многообразие - тотальное пространство касательного расслоения к группе Ли. На касательном пространстве к нему в какой-нибудь точке возьмем очевидную комплексную структуру и разнесем ее повсюду левыми сдвигами. На группе Ли есть естественная плоская связность с кручением, по отношению к которой левоинвариантные векторные поля ковариантно-постоянны. Так что получится ковариантно-постоянная почти-комплексная структура на тотальном пространстве, которая поэтому будет ковариантно-интегрируемой. Мне кажется, она не будет интегрируемой в обычном смысле.