leblon | (no subject)

Закончил длинную статью (точнее, 2-ю часть статьи с Л.Р.). Физики там вообще никакой нет. По крайней мере, на первый взгляд. Вот думаю, кто ее читать будет. Барьер номер 1: там всякие 2-категории и 3-категории. Их все боятся, за исключением некоторых людей из теории представлений. Но эти 2-категории - не алгебраического происхождения, а геометрического, связанные со всякими там производными категориями когерентных пучков и матричными факторизациями. Это еще один барьер.

Что эта наука нам дает? Ну, во-первых, некоторое категорное обобщение теоремы Концевича о существовании деформационного квантования. А именно, получается классификация моноидальных деформаций производной категории когерентных пучков на комплексном многообразии в терминах решений некоторого уравнения типа Маурера-Картана. Во-вторых, концептуальное объяснение, откуда берутся всякие неожиданные алгебраические структуры на Тоr-группах структурных пучков лагранжевых подмногообразий в комплексном симплектическом многообразии (про это писал Беренд и, недавно, Гинзбург с Барановским). В-третьих, категорифицированный характер Черна (привет Тоену: не зря я все-таки сидел неделю на даче у В.Л.), который сопоставляет пучку категорий над комплексным многообразием твисторный Д-модуль на нем же. В-четвертых, судя по статье Беренда, должна быть какая-то связь с инвариантами Дональдсона-Томаса, точнее с их категорификацией. Но это я еще не понимаю, там должен быть голоморфный аналог хирургии, где вместо вещественных ориентированных 3-многообразий с границей - комплексные 3-многообразия с антиканоническим дивизором.

Flat | Top-Level Comments Only

А чего, у вас там прямо любое Пуассоново многообразие? Или всё-таки симплектическое?

Не, я не то имел в виду. Пусть у нас есть некая симметричная моноидальная категория. Давай искать ее деформации в классе всех моноидальных (но вообще говоря несимметричных) категорий. Если думать про моноидальную категорию как 2-категорию с одним объектом, то мы фактически спрашиваем, как найти 2-категорный аналог когомологий Хохшильда и соответствующего уравнения Маурера-Картана.

Теперь давай возьмем в качестве простого примера производную категорию когерентных пучков на комплексном многообразии (с очевидной моноидальной структурой). В этом случае физика позволяет "угадать" этот 2-категорный аналог Хохшильда и уравнение Маурера-Картана, которое управляет деформациями. Я рассматриваю это как аналог результата Концевича, который говорит нам, как классифицировать деформации коммутативной алгебры функций на многообразии. Аналогом пуассонового бивектора оказывается симметричное бивекторное поле со значениями в формах типа (0,p), где p нечетное.

>Давай искать ее деформации в классе всех моноидальных (но вообще говоря несимметричных) категорий.

A chto, razve ne Ext^2 iz edinichnogo ob'ekta v sebya?

Нет. Например, для комплексного мнообразия получится H^2(O), это явно неправильный ответ. Должно получаться, как минимум, H^1(TX). А H^2(O) - это вообще жербовость, а это не моноидальная деформация. (Вобще же говоря, деформации моноидальной категории описываются элементами степени 3 в Е_3 алгебре).

Правильный ответ описан у нас в последней статье с Розанским, включая уравнение Маурера-Картана. Вкратце могу сказать, что получается.

1. Z-градуированный вариант. Инфинитезимальные деформации - это сумма H^1(TX) и H^3(O). Причем второй кусок - это 2-жербовая деформация. Т.е. он деформирует наш пучок моноидальных категорий не в пучок моноидальных категорий, а в более общую 2-категорию.

2. Z_2-градуированный вариант. Тут получается сумма H^p(Sym^q TX) для всех q и всех нечетных p.

Udivitel'no, da. Poshel smotret' stat'yu.

Pro Ext^2(1,1) -- est' odin primer, gde ehto vrode pravil'no: kategoriya endofunktorov chego-libo. Po krajnej mere chast' otveta non daet. No ehto ochen' special'nyj sluchaj, da.

Я не совсем понял - результат похож более на общую философию теории деформаций (деформации чего-то находятся в 1-1 соответствии с решениями правильно выписанного уравнения MC) или на результат Концевича в смысле возможности эту деформацию явно выписать, если уметь считать всякие интегралы по компактифицированным конфигурационным пространством, или чему-то там ещё?

И то, и другое. Во-первых, есть очень простое и "геометричное" уравнение Маурера-Картана (а не абстрактный крокодил, как для хохшильдовского коцикла). Во-вторых, есть некий функциональный интеграл, разложение которого в ряд теории возмущений позволяет явно выписать моноидальную деформацию, соответствующую данному решению уравнения Маурера-Картана (аналогично тому, как это сделано у Каттанео-Фельдера). Впрочем, мы пока не сделали этого шага явно, т.е. не довели до конкретных правил Фейнмана.

Спасибо, очень интересно.