![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Quaternionic vs. hyperkahler geometries
Давно меня волнует такой вопрос. Как показано в статье 1983 года (Witten, Bagger, Nucl. Phys. B222, p. 1-10), таргет-пространство нелинейной N=2 сигма-модели взаимодействующей с N=2 супергравитацией должно быть кватернионным (голономия Sp(1)xSp(n) если размерность многообразия 4n). А просто для N=2 сигма-модели (без супергравитации) таргет пространство должно быть гиперкэлеровым, т.е. голономия Sp(n). В частности, во втором случае таргет пространство Риччи-плоское (тензор Риччи равен нулю), а в первом - нет (и даже скалярная кривизна не ноль). В специальном случае n=1, условия немного другие: в первом случае, тензор Вейля должен быть самодуален, и тензор тензор Риччи должен быть пропорционален метрике (с постоянным коэффициентом), а во втором случае - тензор Римана должен быть самодуален (и отсюда автоматически следует, что тензор Риччи равен нулю).
С другой стороны, если устремить силу гравитационного взаимодействия к нулю, то случай 1 должен превратиться в случай 2. Т.е. должна быть процедура построения гиперкэлеровой метрики начиная с кватернионной (на том же многообразии). В размерности 4 (т.е. для n=1) напрашивается гипотеза, что эти две метрики конформно-эквивалентны. А может, и во всех измерениях. Как бы это проверить?
С другой стороны, если устремить силу гравитационного взаимодействия к нулю, то случай 1 должен превратиться в случай 2. Т.е. должна быть процедура построения гиперкэлеровой метрики начиная с кватернионной (на том же многообразии). В размерности 4 (т.е. для n=1) напрашивается гипотеза, что эти две метрики конформно-эквивалентны. А может, и во всех измерениях. Как бы это проверить?